10.24 Elabore um problema para ajudar outros estudantes a enead tender melhor a análise de malhas.
Passo 1
Enunciado (problema que vou resolver — use este problema para praticar análise de malhas): Dado o circuito da figura, determine a tensão v_o(t) no resistor de 1\\ \Omega no regime permanente senoidal para a fonte 16\\ \text{sen}(4t-10^\circ)\\ \text{V}. Use análise por malhas (explique e aplique supermalha se necessário).\n\nDados obtidos da figura: a fonte é \;16\\ \text{sen}(4t-10^\circ)\\ \text{V};; indutor L=1\\ \text{H};; capacitor C=0,25\\ \text{F};; resistor R=1\\ \Omega;; fonte de corrente dependente vertical com valor 0,5\,i_x (seta apontando para cima) onde i_x é a corrente no ramo do indutor indicada na figura (seta para a direita no ramo superior esquerdo). O objetivo: encontrar v_o(t) em volts.
Passo 2
Plano de resolução e conceitos essenciais (mini-aula): Como a fonte é senoidal em regime permanente, convertemos tudo para fasores e impedâncias complexas. Regras que vou usar:
Converter A\\ \text{sen}(\omega t+\varphi) em fasor \underline{V}=A\angle\varphi.
Impedância do indutor: \underline{Z}_L=j\omega L.
Impedância do capacitor: \underline{Z}_C=\dfrac{1}{j\omega C}.
Análise por malhas: definir correntes de malha (orientação), escrever KVL nas malhas. Quando duas malhas compartilham uma fonte de corrente entre elas, formamos uma supermalha (contornamos a fonte de corrente) e escrevemos uma equação adicional que relaciona as correntes de malha com a corrente da fonte dependente. Aqui a fonte de corrente é dependente, então a equação que relaciona correntes de malha incluirá a dependência em i_x.
Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Converter para fasores e calcular impedâncias (uso \omega=4 rad/s, extraído da fonte).
Definição das correntes de malha e relação com i_x (peguei orientação das setas na figura).
Defina \underline{i}_1 como corrente de malha da malha da esquerda, no sentido horário. Assim a corrente no ramo superior esquerdo (através do indutor) que foi indicada na figura como i_x coincide com a nossa \underline{i}_1. Logo:
\underline{i}_x=\underline{i}_1.
Defina \underline{i}_2 como corrente de malha da malha da direita, no sentido horário. Note que o ramo com a fonte de corrente dependente está entre as duas malhas (é um ramo vertical entre nó superior e inferior) — portanto temos uma fonte de corrente comum a duas malhas. Isso exige usar uma supermalha e também uma equação de restrição que vem da fonte de corrente.
Equação de restrição (analise de sentidos): a corrente vertical para cima fornecida pela fonte dependente vale 0,5\,\underline{i}_x = 0,5\,\underline{i}_1. A corrente no mesmo ramo, expressa pelas correntes de malha, é \underline{i}_2 para cima (sentido do ramo quando percorrendo a malha direita no lado esquerdo) menos \underline{i}_1 para cima (porque na malha esquerda o ramo é percorrido para baixo se a malha é horária). Portanto:
Formação da supermalha e equação KVL da supermalha: contornamos o perímetro externo que envolve tanto o indutor quanto a série capacitor+resistor (excluímos o ramo da fonte de corrente). Percorrendo em sentido horário, a soma das quedas é igual à tensão da fonte. Assim, escrevemos (em fasores):
Comentários finais e dicas para prova (resumindo o aprendizado):
Quando houver uma fonte de corrente entre duas malhas, use supermalha e escreva uma equação de restrição que relacione as correntes de malha com a corrente da fonte; se a fonte for dependente, expresse-a em função da corrente/voltagem indicada (aqui \underline{i}_x=\underline{i}_1).
Trabalhe em fasores; calcule \underline{Z}_L e \underline{Z}_C com \omega correto.
Para dividir complexos, use forma polar (módulo/ângulo) ou racionalize com o conjugado. No tempo da prova, a forma polar costuma ser mais rápida quando você já tem magnitude e ângulo.
Cheque unidades e sentidos das setas: identificar corretamente \underline{i}_x foi essencial aqui.