10.24 Elabore um problema para ajudar outros estudantes a enead tender melhor a análise de malhas.

Passo 1

Enunciado (problema que vou resolver — use este problema para praticar análise de malhas): Dado o circuito da figura, determine a tensão v_o(t) no resistor de 1\\ \Omega no regime permanente senoidal para a fonte 16\\ \text{sen}(4t-10^\circ)\\ \text{V}. Use análise por malhas (explique e aplique supermalha se necessário).\n\nDados obtidos da figura: a fonte é \;16\\ \text{sen}(4t-10^\circ)\\ \text{V};; indutor L=1\\ \text{H};; capacitor C=0,25\\ \text{F};; resistor R=1\\ \Omega;; fonte de corrente dependente vertical com valor 0,5\,i_x (seta apontando para cima) onde i_x é a corrente no ramo do indutor indicada na figura (seta para a direita no ramo superior esquerdo). O objetivo: encontrar v_o(t) em volts.

Passo 2

Plano de resolução e conceitos essenciais (mini-aula): Como a fonte é senoidal em regime permanente, convertemos tudo para fasores e impedâncias complexas. Regras que vou usar:
  • Converter A\\ \text{sen}(\omega t+\varphi) em fasor \underline{V}=A\angle\varphi.
  • Impedância do indutor: \underline{Z}_L=j\omega L.
  • Impedância do capacitor: \underline{Z}_C=\dfrac{1}{j\omega C}.
  • Análise por malhas: definir correntes de malha (orientação), escrever KVL nas malhas. Quando duas malhas compartilham uma fonte de corrente entre elas, formamos uma supermalha (contornamos a fonte de corrente) e escrevemos uma equação adicional que relaciona as correntes de malha com a corrente da fonte dependente. Aqui a fonte de corrente é dependente, então a equação que relaciona correntes de malha incluirá a dependência em i_x.
    Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Converter para fasores e calcular impedâncias (uso \omega=4 rad/s, extraído da fonte).
\omega=4
Fasor da fonte:
\underline{V}_s=16\angle -10^\circ
Impedâncias:
\underline{Z}_L=j\omega L = j\cdot 4\cdot 1 = j4
\underline{Z}_C=\dfrac{1}{j\omega C}=\dfrac{1}{j\cdot 4\cdot 0,25}=\dfrac{1}{j\cdot 1}=-j1
O resistor tem \underline{Z}_R=1\\ \Omega.

Passo 4

Definição das correntes de malha e relação com i_x (peguei orientação das setas na figura).
  • Defina \underline{i}_1 como corrente de malha da malha da esquerda, no sentido horário. Assim a corrente no ramo superior esquerdo (através do indutor) que foi indicada na figura como i_x coincide com a nossa \underline{i}_1. Logo:
\underline{i}_x=\underline{i}_1.
  • Defina \underline{i}_2 como corrente de malha da malha da direita, no sentido horário. Note que o ramo com a fonte de corrente dependente está entre as duas malhas (é um ramo vertical entre nó superior e inferior) — portanto temos uma fonte de corrente comum a duas malhas. Isso exige usar uma supermalha e também uma equação de restrição que vem da fonte de corrente.
Equação de restrição (analise de sentidos): a corrente vertical para cima fornecida pela fonte dependente vale 0,5\,\underline{i}_x = 0,5\,\underline{i}_1. A corrente no mesmo ramo, expressa pelas correntes de malha, é \underline{i}_2 para cima (sentido do ramo quando percorrendo a malha direita no lado esquerdo) menos \underline{i}_1 para cima (porque na malha esquerda o ramo é percorrido para baixo se a malha é horária). Portanto:
\underline{i}_2 - \underline{i}_1 = 0,5\,\underline{i}_1.
Isolando \underline{i}_2:
\underline{i}_2 = 1,5\,\underline{i}_1.

Passo 5

Formação da supermalha e equação KVL da supermalha: contornamos o perímetro externo que envolve tanto o indutor quanto a série capacitor+resistor (excluímos o ramo da fonte de corrente). Percorrendo em sentido horário, a soma das quedas é igual à tensão da fonte. Assim, escrevemos (em fasores):
\underline{Z}_L\,\underline{i}_1 + (\underline{Z}_C+\underline{Z}_R)\,\underline{i}_2 = \underline{V}_s.
Substituindo os valores das impedâncias:
j4\,\underline{i}_1 + ( -j1 + 1)\,\underline{i}_2 = \underline{V}_s.

Passo 6

Substituir a relação \underline{i}_2=1,5\,\underline{i}_1 na equação da supermalha e resolver para \underline{i}_1.
j4\,\underline{i}_1 + (1 - j1)\,(1,5\,\underline{i}_1)=\underline{V}_s.
Fatorando \underline{i}_1:
\Big( j4 + 1,5(1 - j1)\Big)\underline{i}_1=\underline{V}_s.
Calcule o coeficiente:
1,5(1 - j1)=1,5 - j1,5,
j4 + (1,5 - j1,5)=1,5 + j(4-1,5)=1,5 + j2,5.
Logo
(1,5 + j2,5)\,\underline{i}_1 = 16\angle -10^\circ.

Passo 7

Resolver a divisão complexa para obter \underline{i}_1. Método: converter denominador em módulo e ângulo.
Módulo do denominador:
|1,5 + j2,5|=\sqrt{1,5^2 + 2,5^2}=\sqrt{2,25 + 6,25}=\sqrt{8,5}\approx 2,915.
Ângulo do denominador:
\angle(1,5 + j2,5)=\arctan\!\left(\dfrac{2,5}{1,5}\right)\approx 59,036^\circ.
Assim,
\underline{i}_1=\dfrac{16\angle -10^\circ}{2,915\angle 59,036^\circ}=\dfrac{16}{2,915}\angle(-10^\circ - 59,036^\circ).
Calculando:
|\underline{i}_1|\approx 5,488\quad\text{e}\quad \angle\underline{i}_1\approx -69,036^\circ.
Portanto
\underline{i}_1 \approx 5,488\angle -69,036^\circ\\ \text{A}.

Passo 8

Calcula \underline{i}_2 a partir da relação \underline{i}_2=1,5\,\underline{i}_1:
\underline{i}_2 = 1,5\cdot 5,488\angle -69,036^\circ \approx 8,232\angle -69,036^\circ\\ \text{A}.

Passo 9

Encontrar \underline{V}_o e voltar ao domínio do tempo. A tensão v_o está no resistor 1\\ \Omega; em fasor:
\underline{V}_o = \underline{Z}_R\,\underline{i}_2 = 1\cdot \underline{i}_2 = \underline{i}_2.
Portanto
\underline{V}_o \approx 8,232\angle -69,036^\circ\\ \text{V}.
Voltando ao tempo (a fonte original usa seno com \omega=4):
v_o(t) \approx 8,232\\ \text{sen}\big(4t - 69,036^\circ\big)\\ \text{V}.
Arredondando para duas casas significativas práticas:
v_o(t)\approx 8,23\\ \text{sen}\big(4t - 69,04^\circ\big)\\ \text{V}.

Passo 10

Comentários finais e dicas para prova (resumindo o aprendizado):
  • Quando houver uma fonte de corrente entre duas malhas, use supermalha e escreva uma equação de restrição que relacione as correntes de malha com a corrente da fonte; se a fonte for dependente, expresse-a em função da corrente/voltagem indicada (aqui \underline{i}_x=\underline{i}_1).
  • Trabalhe em fasores; calcule \underline{Z}_L e \underline{Z}_C com \omega correto.
  • Para dividir complexos, use forma polar (módulo/ângulo) ou racionalize com o conjugado. No tempo da prova, a forma polar costuma ser mais rápida quando você já tem magnitude e ângulo.
  • Cheque unidades e sentidos das setas: identificar corretamente \underline{i}_x foi essencial aqui.
  • Respire fundo — seguir os passos organizados evita confusão. Você consegue!

Resposta

v_o(t)\approx 8,23\\ \text{sen}\big(4t - 69,04^\circ\big)\\ \text{V}

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