Determine v(t) nas seguintes equações integro-diferenciais usando o método de fasores:
v(t)+\int v d t=10 \cos t

Passo 1

O enunciado dá a equação integro-diferencial
v(t)+\int v\,dt = 10\cos t,
e pede para determinar v(t) usando o método de fasores. Vou assumir que a integral é a integral definida desde 0 até t, ou seja \int_0^t v(\tau)\,d\tau, pois essa é a interpretação habitual e necessária para que a equação esteja bem-posed. Informações importantes do enunciado que vamos usar: a força excitadora é 10\cos t, a frequência angular é \omega=1 (pois o argumento do cosseno é t), e procuramos v(t) para todo t\ge 0. Neste passo não começo a resolver; só organizei os dados e o que se pede.

Passo 2

Breve aula sobre o método de fasores (de um jeito simples e prático):
  • Quando temos sinais senoidais, podemos escrever \cos t = \Re\{e^{jt}\}. O método de fasores trabalha com as amplitudes complexas (os “phasors”) que multiplicam e^{jt}.
  • Operadores tempo-domínio viram multiplicação/divisão no domínio dos fasores: a derivada corresponde a multiplicar por j\omega e a integral (definida a partir de zero, na resposta forçada em regime estacionário) corresponde a dividir por j\omega. Aqui \omega=1.
  • Se v(t) no regime permanente for a parte real de V e^{jt} (isto é, v(t)=\Re\{V e^{jt}\}), então na equação original substituímos a ação da integral por \frac{1}{j\omega}V.
  • O método de fasores nos dá diretamente a solução particular (regime forçado). Para obter a solução completa (incluindo transiente que depende de condições iniciais), precisamos acrescentar a solução homogênea do equivalente ODE.

Passo 3

Aplicando o método de fasores para encontrar a solução particular (regime estacionário):
  • Denotamos o fasor de v(t) por V. Como \omega=1, a representação fasorial da integral é \frac{1}{j\omega}V=\frac{1}{j}V.
  • A equação fasorial resultante é
V + \frac{1}{j}V = 10.
  • Colocamos em evidência V:
V\left(1+\frac{1}{j}\right)=10.
  • Simplificamos 1+\frac{1}{j}=\frac{j+1}{j}, então
V = 10\cdot\frac{j}{j+1}.
  • Multiplicando numerador e denominador por 1-j para simplificar:
V = 10\cdot\frac{j(1-j)}{(j+1)(1-j)} = 10\cdot\frac{1+j}{2} = 5(1+j).
  • Para voltar ao tempo, tomamos v_{p}(t)=\Re\{V e^{jt}\}. Calculando explicitamente:
V e^{jt} = 5(1+j)(\cos t + j\sin t).
Multiplicando:
(1+j)(\cos t + j\sin t) = (\cos t - \sin t) + j(\cos t + \sin t).
A parte real é \cos t - \sin t. Portanto a solução particular (regime permanente) é
v_{p}(t)=5(\cos t - \sin t).

Passo 4

Agora explico o transiente e uso a condição inicial:
  • O método de fasores deu a solução particular v_{p}(t), que é o regime estacionário. Para obter a solução completa precisamos da solução homogênea da equação equivalente àquela que se obtém ao diferenciar a equação original (isso elimina a integral e gera uma EDO de primeira ordem).
  • Diferenciando a equação original \;v(t)+\int_0^t v(\tau)\,d\tau = 10\cos t\; obtemos
v'(t)+v(t) = -10\sin t.
Isto é uma EDO linear de primeira ordem. A equação homogênea associada é
v_h'(t)+v_h(t)=0,
cuja solução é
v_h(t)=C e^{-t},
onde C é constante determinada pela condição inicial.
  • Para obter a constante C usamos a equação original em t=0. Note que \int_0^0 v(\tau)\,d\tau=0, então:
v(0)+0 = 10\cos 0 \quad\Rightarrow\quad v(0)=10.
  • Avaliando a solução geral v(t)=v_h(t)+v_p(t)=C e^{-t}+5(\cos t - \sin t) em t=0:
v(0)=C + 5(\cos 0 - \sin 0) = C + 5\cdot(1-0)=C+5.
Impondo v(0)=10 C+5=10\Rightarrow C=5.

Passo 5

Escrevo a solução completa e faço uma rápida verificação:
  • A solução completa é
v(t)=5 e^{-t} + 5(\cos t - \sin t).
  • Verificação rápida (consistência com a EDO diferenciada): calcule v'(t):
v'(t) = -5 e^{-t} + 5(-\sin t - \cos t) = -5 e^{-t} -5(\sin t + \cos t).
Somando v'(t)+v(t):
(-5 e^{-t} -5(\sin t + \cos t)) + (5 e^{-t} + 5(\cos t - \sin t)) = -10\sin t,
que é exatamente o lado direito da EDO diferenciada. A condição inicial v(0)=5+5=10 também é satisfeita. Portanto a solução está correta.

Resposta

v(t)=5 e^{-t} + 5(\cos t - \sin t)

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