Determine
nas seguintes equações integro-diferenciais usando o método de fasores:
Passo 1
O enunciado dá a equação integro-diferencial
e pede para determinar
usando o método de fasores. Vou assumir que a integral é a integral definida desde
até
, ou seja
, pois essa é a interpretação habitual e necessária para que a equação esteja bem-posed. Informações importantes do enunciado que vamos usar:
a força excitadora é
, a frequência angular é
(pois o argumento do cosseno é
), e procuramos
para todo
. Neste passo não começo a resolver; só organizei os dados e o que se pede.
Passo 2
Breve aula sobre o método de fasores (de um jeito simples e prático):
- Quando temos sinais senoidais, podemos escrever
. O método de fasores trabalha com as amplitudes complexas (os “phasors”) que multiplicam . - Operadores tempo-domínio viram multiplicação/divisão no domínio dos fasores: a derivada corresponde a multiplicar por
e a integral (definida a partir de zero, na resposta forçada em regime estacionário) corresponde a dividir por . Aqui . - Se
no regime permanente for a parte real de (isto é, ), então na equação original substituímos a ação da integral por . - O método de fasores nos dá diretamente a solução particular (regime forçado). Para obter a solução completa (incluindo transiente que depende de condições iniciais), precisamos acrescentar a solução homogênea do equivalente ODE.
Passo 3
Aplicando o método de fasores para encontrar a solução particular (regime estacionário):
- Denotamos o fasor de
por . Como , a representação fasorial da integral é . - A equação fasorial resultante é
- Colocamos em evidência
:
- Simplificamos
, então
- Multiplicando numerador e denominador por
para simplificar:
- Para voltar ao tempo, tomamos
. Calculando explicitamente:
Multiplicando:
A parte real é
. Portanto a solução particular (regime permanente) é
Passo 4
Agora explico o transiente e uso a condição inicial:
- O método de fasores deu a solução particular
, que é o regime estacionário. Para obter a solução completa precisamos da solução homogênea da equação equivalente àquela que se obtém ao diferenciar a equação original (isso elimina a integral e gera uma EDO de primeira ordem). - Diferenciando a equação original
obtemos
Isto é uma EDO linear de primeira ordem. A equação homogênea associada é
cuja solução é
onde
é constante determinada pela condição inicial.
- Para obter a constante
usamos a equação original em . Note que , então:
- Avaliando a solução geral
em :
Impondo
dá
.
Passo 5
Escrevo a solução completa e faço uma rápida verificação:
- A solução completa é
- Verificação rápida (consistência com a EDO diferenciada): calcule
:
Somando
:
que é exatamente o lado direito da EDO diferenciada. A condição inicial
também é satisfeita. Portanto a solução está correta.