A banda de transmissão AM consiste de 107 canais para estações de 10 kHz de largura. A frequência de modulação máxima permitida é 5 kH . O FM pode ser utilizado com essa banda? Em caso afirmativo, explique o que seria necessário para que isso aconteça.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Cada canal da banda AM tem largura de \,10\\ \text{kHz}\,.
  • A frequência máxima de modulação permitida é \,5\\ \text{kHz}\, (ou seja, o conteúdo de áudio pode ter harmônicos até \,f_m=5\\ \text{kHz}\,).
  • Pergunta: “O FM pode ser utilizado com essa banda? Em caso afirmativo, explique o que seria necessário para que isso aconteça.”
    Lista de dados relevantes extraídos do enunciado:
\text{Largura de canal } B_c = 10\\ \text{kHz}, \qquad \text{freq. máxima de modulação } f_m = 5\\ \text{kHz}.áçã
Não há outras figuras ou tabelas; tudo o que precisamos está acima.

Passo 2

Vamos aprender a regra prática que diz quanto espectro o FM ocupa: a Regra de Carson.
  • Carson dá uma estimativa muito usada da largura de banda ocupada por um sinal FM:
B_{\text{FM}} \approx 2(\Delta f + f_m),
onde:
  • \Delta f é a desviação de frequência pico (peak frequency deviation) — ou seja, o quanto a portadora varia para cima/baixo em Hz quando o sinal modulador tem amplitude máxima;
  • \,f_m é a maior frequência presente no sinal modulador (a frequência máxima de áudio).
  • Intuição curta: o FM gera múltiplas bandas laterais; a regra de Carson engloba as componentes significativas (próximas à maior ordem relevante), por isso usamos esse valor para dimensionar canais.
  • Observação prática: se quisermos que um sinal FM “caiba” dentro de um canal, precisamos que B_{\text{FM}} seja menor ou igual à largura do canal disponível B_c.

Passo 3

Aplicando Carson ao nosso problema: queremos que a ocupação do FM caiba no canal de \,10\\ \text{kHz}\,. Então impomos
2\bigl(\Delta f + f_m\bigr) \le B_c.
Substituindo f_m=5\\ \text{kHz} e B_c=10\\ \text{kHz}:
2\bigl(\Delta f + 5\\ \text{kHz}\bigr) \le 10\\ \text{kHz}.
Dividindo por 2:
\Delta f + 5\\ \text{kHz} \le 5\\ \text{kHz}.
Logo
\Delta f \le 0\\ \text{kHz}.

Passo 4

Interpretação do resultado do passo anterior:
  • \Delta f \le 0 significa que a única forma de satisfazer a desigualdade com f_m=5\\ \text{kHz} é ter \Delta f = 0, ou seja, não variar a frequência da portadora — o que não é FM (seria apenas portadora sem modulação).
  • Conclusão imediata: com f_m=5\\ \text{kHz} e canais de \,10\\ \text{kHz}\,, NÃO é possível ter uma FM com desviação não nula que ainda caiba no canal segundo a Regra de Carson. Em outras palavras, a FM “normal” (com desvios que tragam vantagem de ruído) não cabe nesse canal se mantivermos f_m=5\\ \text{kHz}.

Passo 5

Agora vamos ver o que seria necessário para que FM coubesse no canal — isto é, quais opções práticas existem:
Opção A — reduzir a frequência máxima de modulação f_m:
  • A condição geral é
\Delta f + f_m \le \frac{B_c}{2} = 5\\ \text{kHz}.
  • Para termos uma \Delta f>0 razoável precisamos diminuir f_m. Por exemplo, se escolhermos \Delta f = 2{,}5\\ \text{kHz}, então precisamos de f_m \le 2{,}5\\ \text{kHz}. Com esses valores:
B_{\text{FM}} \approx 2(2{,}5 + 2{,}5)\\ \text{kHz} = 10\\ \text{kHz},
ou seja, cabe exatamente no canal. Mas isso exige limitar o áudio a \,2{,}5\\ \text{kHz}\, (perda de altas frequências) e usar desvios pequenos (perda dos ganhos típicos do FM em relação ao ruído).
Opção B — reduzir ainda mais \Delta f (Narrowband FM):
  • Se mantivermos f_m=5\\ \text{kHz} e quisermos algum \Delta f, a desigualdade nos proíbe (pois \Delta f\le 0). Então a única alternativa é reduzir f_m ou aumentar B_c.
    Opção C — alargar a largura do canal:
  • Se aumentarmos B_c, por exemplo para padrões de FM wideband (rádio FM comercial usa ~ \,200\\ \text{kHz}\, por estação), podemos escolher \Delta f grande e \,f_m=5\\ \text{kHz}\, sem problema. Ex.: com \Delta f=75\\ \text{kHz} e f_m=15\\ \text{kHz} (padrão FM broadcast), B_{\text{FM}}\approx 2(75+15)=180\\ \text{kHz}.
    Opção D — usar técnicas diferentes:
  • Compressão de áudio e filtragem passa-baixa antes da modulação (para reduzir f_m).
  • Uso de esquemas digitais e modulação diferente (ex.: sistemas digitais com multiplexagem dentro do canal) — mas aí não é FM analógico tradicional.

Passo 6

Efeitos práticos e trade-offs (isso é importante na prova e na hora de justificar):
  • Diminuir \Delta f reduz o índice de modulação \beta=\Delta f/f_m. Para \beta \ll 1 temos narrowband FM (NBFM) que tem desempenho contra ruído muito inferior ao do wideband FM; perde-se a principal vantagem do FM (imunidade ao ruído e à interferência de amplitude).
  • Limitar f_m (remoção de altas frequências de áudio) piora a qualidade sonora (menos agudos).
  • A escolha aceitável depende do requisito: qualidade de áudio vs. economia de espectro. Tecnicamente é possível usar FM dentro de canais tão estreitos apenas sacrificando desvio e/ou banda de áudio; mas isso já não é o FM “comum” que se usa para rádio musical.

Resposta

Não — com f_m=5\\ \text{kHz} e canais de 10\\ \text{kHz} não é possível usar FM com desviação útil (pela Regra de Carson daria \Delta f\le 0). Para usar FM com desviação não nula seria necessário ou reduzir a banda do áudio (diminuir f_m) de modo que \Delta f + f_m \le 5\\ \text{kHz} (por exemplo \Delta f=2{,}5\\ \text{kHz} e f_m\le 2{,}5\\ \text{kHz} cabe exatamente), ou aumentar a largura do canal B_c (outra alternativa é empregar esquemas digitais/filtragem forte, mas isso reduz qualidade ou as vantagens típicas do FM).

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