Q7.10
Um bloco de madeira é colocado contra uma mola vertical comprimida em 6,00 \mathrm{~cm}. A mola é liberada e empurra o bloco para cima. A partir do ponto onde a mola está comprimida em 6,00 \mathrm{~cm} até onde ela está comprimida em 2,00 \mathrm{~cm} a partir de seu comprimento em equilíbrio e o bloco moveu-se 4,00 \mathrm{~cm} para cima, a força da mola realiza trabalho positivo ou negativo sobre o bloco? Durante esse movimento, a energia potencial armazenada na mola aumenta ou diminui?

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas claras:
  1. A força da mola realiza trabalho positivo ou negativo sobre o bloco quando a compressão passa de 6,00\\ \mathrm{cm} para 2,00\\ \mathrm{cm} e o bloco sobe 4,00\\ \mathrm{cm}?
  2. Durante esse movimento, a energia potencial armazenada na mola aumenta ou diminui?
Informações fornecidas (tudo retirado do enunciado):
  • Compressão inicial da mola: x_i=6{,}00\\ \mathrm{cm}.
  • Compressão final da mola: x_f=2{,}00\\ \mathrm{cm}.
  • Deslocamento vertical do bloco (para cima): 4{,}00\\ \mathrm{cm}.
    Obs.: os valores de x_i e x_f já confirmam o deslocamento 4{,}00\\ \mathrm{cm} (porque 6{,}00-2{,}00=4{,}00\\ \mathrm{cm}).

Passo 2

Vamos definir variáveis e convenções de sinal para não nos perder:
  • Seja x a compressão da mola medida a partir do comprimento de equilíbrio, com x>0 quando a mola está comprimida. Assim \;x_i=0{,}06\\ \mathrm{m} e \;x_f=0{,}02\\ \mathrm{m}.
  • A força da mola (força elástica) obedece à Lei de Hooke:
F_s(x) = -k\,x.
Aqui:
  • k é a constante elástica da mola (positiva).
  • x é a compressão (positivo quando comprimida).
  • O sinal negativo indica que a força da mola aponta no sentido de reduzir a compressão (ou seja, oposta ao deslocamento que a causa): se a mola está comprimida ela empurra para fora.
Explicação informal: quando a mola está comprimida ela “empurra” o bloco para cima; o sinal negativo na fórmula só formaliza que a força tende a restaurar a mola ao equilíbrio.

Passo 3

Fórmula do trabalho para uma força variável:
W=\int_{x_i}^{x_f} F_s(x)\,dx.
Interpretação física simples: se a força tem componente na mesma direção do deslocamento, o trabalho é positivo; se for oposta, o trabalho é negativo.
No nosso caso, atenção à direção: x mede compressão (maior x = mais comprimida). Quando o bloco sobe, a compressão diminui, ou seja, x vai de x_i para x_f com x_f<x_i. A força da mola durante a compressão age no sentido de empurrar o bloco para cima (mesma direção do deslocamento do bloco), portanto esperamos trabalho positivo. Vamos confirmar matematicamente.

Passo 4

Usando energia potencial elástica da mola, que é a forma mais direta:
U(x)=\tfrac{1}{2}k x^{2}.
Aqui U é a energia potencial armazenada na mola quando sua compressão é x.
Calcule a variação da energia potencial da mola entre os pontos:
\Delta U = U_f - U_i = \tfrac{1}{2}k x_f^{2} - \tfrac{1}{2}k x_i^{2} = \tfrac{1}{2}k\,(x_f^{2}-x_i^{2}).
Substituímos x_i=0{,}06\\ \mathrm{m} e x_f=0{,}02\\ \mathrm{m}:
x_i^{2}=0{,}06^{2}=0{,}0036\quad\text{e}\quad x_f^{2}=0{,}02^{2}=0{,}0004.
Portanto
x_f^{2}-x_i^{2}=0{,}0004-0{,}0036=-0{,}0032,
e então
\Delta U = \tfrac{1}{2}k(-0{,}0032) = -\tfrac{1}{2}k\cdot 0{,}0032.
Conclusão desta etapa: \Delta U<0. Ou seja, a energia potencial armazenada na mola diminui quando a compressão vai de 6{,}00\\ \mathrm{cm} para 2{,}00\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Relação entre trabalho da força elástica e variação da energia potencial elástica:
W_{s} = -\Delta U.
Isto é uma propriedade de forças conservativas: o trabalho realizado pela força da mola é igual ao negativo da mudança da energia potencial elástica.
Como vimos \Delta U<0, então
W_{s} = -\Delta U > 0.
Podemos também obter explicitamente o valor (em função de k):
W_{s}= -\left(\tfrac{1}{2}k x_f^{2} - \tfrac{1}{2}k x_i^{2}\right) = \tfrac{1}{2}k\,(x_i^{2}-x_f^{2}) = \tfrac{1}{2}k\cdot 0{,}0032,
que é um número positivo (proporcional a k). Portanto o trabalho da mola sobre o bloco é positivo.

Passo 6

Interpretação física final e resumo didático:
  • A mola, ao relaxar (diminuir a compressão), libera energia que pode ir para a energia cinética do bloco e/ou para a energia potencial gravitacional. Enquanto a mola se expande, ela empurra o bloco no mesmo sentido que o deslocamento do bloco (para cima), logo faz trabalho positivo.
  • Como parte da energia armazenada na mola foi “gasta” para empurrar o bloco, a energia potencial elástica da mola diminui. Matematicamente isso ficou claro porque x_f<x_i e U=\tfrac12 k x^2 diminuiu.

Resposta

Trabalho da mola sobre o bloco: positivo.
Energia potencial da mola durante o movimento: diminui.

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