10- Calcular as coordenadas retangulares de um ponto P, levantado topograficamente por interseção, a partir da base ( MN ) da qual foram lidos os seguintes ângulos:
N M \mathrm{P}=55^{\circ} 40^{\prime} ; \mathrm{MN}^{\prime} \mathrm{P}=310^{\circ} 20^{\prime} ;
Sabe-se que:
Estação M: Y=3630,14 m ; X=1117,85 m
Estação N: Y=4968,18m ; X=2505,33m

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas das duas estações da base MN e duas leituras angulares até o ponto P. Vou listar claramente o que foi dado e o que pedem:
  • Coordenadas da estação M: Y=3630,14\\ \text{m}; X=1117,85\\ \text{m}. Ou seja, M=(X_M,Y_M)=(1117,85;\;3630,14).
  • Coordenadas da estação N: Y=4968,18\\ \text{m}; X=2505,33\\ \text{m}. Ou seja, N=(X_N,Y_N)=(2505,33;\;4968,18).
  • Ângulos lidos (anotação do enunciado): NMP=55^\circ40' e MN'P=310^\circ20'.
O enunciado é um pouco ambíguo sobre a notação dos ângulos, por isso vou adotar uma interpretação natural em topografia (e explico por quê no passo seguinte):
O objetivo é encontrar as coordenadas retangulares ( X e Y ) do ponto P.

Passo 2

Escolha do método e hipótese necessária (sem perguntar nada, explico a suposição):
  • Interpreto as leituras angulares como azimutes (rumos) das direções MP e NP, isto é:
    • o azimute de MP é \theta_M = 55^\circ40';
    • o azimute de NP é \theta_N = 310^\circ20'.
  • Justificativa: em levantamentos por interseção a informação típica que permite traçar duas retas que se intersectam é a direção (azimute) de P vista de cada estação. Com essas duas direções conhecidas e as coordenadas de M e N, traça-se as duas retas e toma-se a interseção. Se os ângulos fossem ângulos internos do triângulo, o procedimento seria diferente (lei dos senos); aqui a notação e o valor 310^\circ20' sugerem leitura de azimute (valor maior que 180^\circ faz sentido como azimute).
  • Vou resolver supondo a interpretação acima. Se a intenção fosse outra (por ex. ângulos internos), o método muda — mas não vou pedir confirmação: prossigo com esta hipótese, que é a mais frequente em levantamentos.
Agora vou explicar a ideia do método que vou usar (passo-a-passo didático):
  • Uma direção (azimute) \theta em topografia é o ângulo medido no sentido horário a partir do Norte. Para transformar um azimute \theta em um vetor diretivo unitário no plano cartesiano (onde o eixo Y aponta para Norte e X para Leste) usamos \text{vetor unitário}=(\sin\theta,\;\cos\theta),áporque a componente em X (leste) é \sin\theta e a componente em Y (norte) é \cos\theta.
  • Cada reta conhecida passa por uma estação e tem essa direção; escrevemos as equações paramétricas da reta a partir de cada estação e resolvemos o sistema para achar a interseção.

Passo 3

Converter os ângulos dados para graus decimais e calcular os senos e cossenos (tudo em notação matemática):
  • Converter minutos para fração de grau: \theta_M = 55^\circ40' = 55 + \frac{40}{60} = 55,6666667^\circ.
\theta_N = 310^\circ20' = 310 + \frac{20}{60} = 310,3333333^\circ.
  • Calcular as componentes unitárias das direções (arredondarei os senos e cossenos com precisão suficiente para cálculo em metros):
    \begin{aligned} \sin\theta_M &\approx 0,8257423963,\\\ \cos\theta_M &\approx 0,5639874144,\\[4pt] \sin\theta_N &\approx -0,7622661550\quad(\text{nota: }310^\circ20'=360^\circ-49^\circ40'),\\\ \cos\theta_N &\approx 0,6472114160. \end{aligned}
  • Para facilitar, defino:
    \begin{aligned} \mathbf{u}_M &= (\,d_{xM},\,d_{yM}\,)=(\sin\theta_M,\cos\theta_M)=(0,8257423963,\;0,5639874144),\\\ \mathbf{u}_N &= (\,d_{xN},\,d_{yN}\,)=(\sin\theta_N,\cos\theta_N)=(-0,7622661550,\;0,6472114160). \end{aligned}]

Passo 4

Escrever as equações paramétricas das retas que saem de [M) e de N na direção de P:
  • Para a reta a partir de M (parâmetro t, distância ao longo da direção a partir de M):
    \begin{cases} X = X_M + t\,d_{xM},\\[4pt] Y = Y_M + t\,d_{yM}, \end{cases}
    onde X_M=1117,85\] e \[Y_M=3630,14.
  • Para a reta a partir de N (parâmetro s):
    \begin{cases} X = X_N + s\,d_{xN},\\[4pt] Y = Y_N + s\,d_{yN}, \end{cases}
    onde X_N=2505,33\] e \[Y_N=4968,18.
A interseção (X_P,Y_P) deve satisfazer ambas as equações, portanto resolvemos o sistema linear para t e s. Subtraindo as componentes correspondentes obtemos:
\begin{cases} t\,d_{xM} - s\,d_{xN} = \Delta X,\\[4pt] t\,d_{yM} - s\,d_{yN} = \Delta Y, \end{cases}
onde \Delta X = X_N - X_M\] e \(\Delta Y = Y_N - Y_M.
Calcule \Delta X e \Delta Y:
\Delta X = 2505,33 - 1117,85 = 1387,48,
\Delta Y = 4968,18 - 3630,14 = 1338,04.]

Passo 5

Resolver o sistema linear por regra de Cramer (vou mostrar todas as contas):
Escrevendo em forma matricial
\begin{pmatrix} d_{xM} & -d_{xN}\\[4pt] d_{yM} & -d_{yN} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}t\\[4pt] s\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\Delta X\\[4pt]\Delta Y\end{pmatrix}.
Determinante principal:
D = d_{xM}(-d_{yN}) - (-d_{xN})d_{yM} = d_{xN}d_{yM} - d_{xM}d_{yN}.
Substituindo os valores numéricos:
D \approx (-0,7622661550)\cdot 0,5639874144 - 0,8257423963\cdot 0,6472114160 \approx -0,9643377050.
Determinante para t:
D_t = \begin{vmatrix}\Delta X & -d_{xN}\\[4pt]\Delta Y & -d_{yN}\end{vmatrix} = -\Delta X\,d_{yN} + d_{xN}\,\Delta Y.
Substituindo:
D_t \approx -1387,48\cdot 0,6472114160 + (-0,7622661550)\cdot 1338,04 \approx -1917,934364.
Logo
t = \frac{D_t}{D} \approx \frac{-1917,934364}{-0,9643377050}\approx 1988,8618\\ \text{m}.
(O parâmetro t é a distância ao longo da direção unitária desde M até P.)]

Passo 6

Calcular as coordenadas de P a partir de M e do valor de t:
Usando
X_P = X_M + t\,d_{xM},\qquad Y_P = Y_M + t\,d_{yM},
substituindo números:
\begin{aligned} X_P &\approx 1117,85 + 1988,8618\cdot 0,8257423963 \\\ &\approx 1117,85 + 1642,2875095 \\\ &\approx 2760,1375095,\\[6pt] Y_P &\approx 3630,14 + 1988,8618\cdot 0,5639874144 \\\ &\approx 3630,14 + 1121,6930106 \\\ &\approx 4751,8330106. \end{aligned}
Arredondando sensatamente (centímetros) obtemos X_P\approx 2760,14\\ \text{m} e Y_P\approx 4751,83\\ \text{m}.]

Passo 7

Verificação rápida (plugando na reta a partir de N):
Calculo s a partir de t usando a primeira equação:
s = \frac{t\,d_{xM} - \Delta X}{d_{xN}} \approx \frac{1642,2875095 - 1387,48}{-0,7622661550} \approx -334,4579.
Então a partir de N:
\begin{aligned} X'_P &= X_N + s\,d_{xN} \approx 2505,33 + (-334,4579)(-0,7622661550) \approx 2760,1375,\\\ Y'_P &= Y_N + s\,d_{yN} \approx 4968,18 + (-334,4579)(0,6472114160) \approx 4751,8330. \end{aligned}
Os resultados coincidem com os obtidos a partir de M (diferenças numéricas irrelevantes de arredondamento). Portanto a interseção está consistente.

Resposta

X_P = 2760,14\\ \text{m}
Y_P = 4751,83\\ \text{m}

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