10- Calcular as coordenadas retangulares de um ponto P, levantado topograficamente por interseção, a partir da base ( MN ) da qual foram lidos os seguintes ângulos:
N M \mathrm{P}=55^{\circ} 40^{\prime} ; \mathrm{MN}^{\prime} \mathrm{P}=310^{\circ} 20^{\prime} ;
Sabe-se que:
Estação M: Y=3630,14 m ; X=1117,85 m
Estação N: Y=4968,18m ; X=2505,33m
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas das duas estações da base MN e duas leituras angulares até o ponto P. Vou listar claramente o que foi dado e o que pedem:
Coordenadas da estação M: Y=3630,14\\ \text{m}; X=1117,85\\ \text{m}. Ou seja, M=(X_M,Y_M)=(1117,85;\;3630,14).
Coordenadas da estação N: Y=4968,18\\ \text{m}; X=2505,33\\ \text{m}. Ou seja, N=(X_N,Y_N)=(2505,33;\;4968,18).
Ângulos lidos (anotação do enunciado): NMP=55^\circ40' e MN'P=310^\circ20'.
O enunciado é um pouco ambíguo sobre a notação dos ângulos, por isso vou adotar uma interpretação natural em topografia (e explico por quê no passo seguinte):
O objetivo é encontrar as coordenadas retangulares ( X e Y ) do ponto P.
Passo 2
Escolha do método e hipótese necessária (sem perguntar nada, explico a suposição):
Interpreto as leituras angulares como azimutes (rumos) das direções MP e NP, isto é:
o azimute de MP é \theta_M = 55^\circ40';
o azimute de NP é \theta_N = 310^\circ20'.
Justificativa: em levantamentos por interseção a informação típica que permite traçar duas retas que se intersectam é a direção (azimute) de P vista de cada estação. Com essas duas direções conhecidas e as coordenadas de M e N, traça-se as duas retas e toma-se a interseção. Se os ângulos fossem ângulos internos do triângulo, o procedimento seria diferente (lei dos senos); aqui a notação e o valor 310^\circ20' sugerem leitura de azimute (valor maior que 180^\circ faz sentido como azimute).
Vou resolver supondo a interpretação acima. Se a intenção fosse outra (por ex. ângulos internos), o método muda — mas não vou pedir confirmação: prossigo com esta hipótese, que é a mais frequente em levantamentos.
Agora vou explicar a ideia do método que vou usar (passo-a-passo didático):
Uma direção (azimute) \theta em topografia é o ângulo medido no sentido horário a partir do Norte. Para transformar um azimute \theta em um vetor diretivo unitário no plano cartesiano (onde o eixo Y aponta para Norte e X para Leste) usamos\text{vetor unitário}=(\sin\theta,\;\cos\theta),porque a componente em X (leste) é \sin\theta e a componente em Y (norte) é \cos\theta.
Cada reta conhecida passa por uma estação e tem essa direção; escrevemos as equações paramétricas da reta a partir de cada estação e resolvemos o sistema para achar a interseção.
Passo 3
Converter os ângulos dados para graus decimais e calcular os senos e cossenos (tudo em notação matemática):
Converter minutos para fração de grau:\theta_M = 55^\circ40' = 55 + \frac{40}{60} = 55,6666667^\circ.
Escrever as equações paramétricas das retas que saem de [M) e de N na direção de P:
Para a reta a partir de M (parâmetro t, distância ao longo da direção a partir de M):
\begin{cases} X = X_M + t\,d_{xM},\\[4pt] Y = Y_M + t\,d_{yM}, \end{cases}
onde X_M=1117,85\] e \[Y_M=3630,14.
Para a reta a partir de N (parâmetro s):
\begin{cases} X = X_N + s\,d_{xN},\\[4pt] Y = Y_N + s\,d_{yN}, \end{cases}
onde X_N=2505,33\] e \[Y_N=4968,18.
A interseção (X_P,Y_P) deve satisfazer ambas as equações, portanto resolvemos o sistema linear para t e s. Subtraindo as componentes correspondentes obtemos: