Dadas as coordenadas (X,Y) dos vértices de um imóvel calcular a área do polígono utilizando o método de Gauss. A ( 18,0 \mathrm{~m} ; 105,0 \mathrm{~m} ); T( 150,0 \mathrm{~m} ; 12,0 \mathrm{~m} ); P ( 270,0 \mathrm{~m} ; 230,0 \mathrm{~m} ); F ( 25,00 \mathrm{~m} ; 32,0 \mathrm{~m} ).

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a área do polígono formado pelos vértices dados, usando o método de Gauss (fórmula do polígono, também chamada de “shoelace”).
Informações fornecidas (peguei estes números do enunciado):
  • A: (18,0\\ \mathrm{m};\\\ 105,0\\ \mathrm{m}).
  • T: (150,0\\ \mathrm{m};\\\ 12,0\\ \mathrm{m}).
  • P: (270,0\\ \mathrm{m};\\\ 230,0\\ \mathrm{m}).
  • F: (25,00\\ \mathrm{m};\\\ 32,0\\ \mathrm{m}).
Vou usar essas coordenadas nessa ordem: A \to T \to P \to F e depois volto a A para fechar o polígono.

Passo 2

Explicação didática do método de Gauss (shoelace), sem pular etapas.
Regra (fórmula): para um polígono simples com n vértices (x_1,y_1), (x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n), a área é dada por
\text{Área}=\frac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n}(x_i y_{i+1}-x_{i+1} y_i)\right|,Á
onde se entende que x_{n+1}=x_1 e y_{n+1}=y_1 (ou seja, fecha-se o polígono voltando ao primeiro vértice).
O que cada símbolo significa:
  • x_i é a coordenada X do i-ésimo vértice.
  • y_i é a coordenada Y do i-ésimo vértice.
  • O produto x_i y_{i+1} multiplica a X do vértice i pela Y do vértice seguinte.
  • Faz-se a soma desses termos no sentido horário (ou anti-horário) e subtrai-se a soma dos termos no sentido inverso x_{i+1} y_i.
  • Toma-se o valor absoluto (porque a fórmula pode dar número negativo dependendo da ordem) e divide-se por 2.
Pense nisso como cruzamentos de coordenadas que “medem” áreas de trapézios orientados; a soma/diferença dá duas somas que, depois de combinadas, resultam na área total.

Passo 3

Organizar os vértices numerados e repetir o primeiro no final para aplicar a fórmula:
  • (x_1,y_1) = (18,0,\\\ 105,0) (ponto A)
  • (x_2,y_2) = (150,0,\\\ 12,0) (ponto T)
  • (x_3,y_3) = (270,0,\\\ 230,0) (ponto P)
  • (x_4,y_4) = (25,00,\\\ 32,0) (ponto F)
  • E volta-se ao primeiro: (x_5,y_5)=(x_1,y_1)=(18,0,\\\ 105,0).

Passo 4

Calcular os termos da soma x_i y_{i+1} (o “sentido direto”) um a um e somar.
x_1 y_2 = 18,0 \cdot 12,0 = 216,0
x_2 y_3 = 150,0 \cdot 230,0 = 34\,500,0
x_3 y_4 = 270,0 \cdot 32,0 = 8\,640,0
x_4 y_1 = 25,00 \cdot 105,0 = 2\,625,0
Somando esses valores:
\sum (x_i y_{i+1}) = 216,0 + 34\,500,0 + 8\,640,0 + 2\,625,0 = 45\,981,0

Passo 5

Calcular os termos da soma x_{i+1} y_i (o “sentido inverso”) um a um e somar.
x_2 y_1 = 150,0 \cdot 105,0 = 15\,750,0
x_3 y_2 = 270,0 \cdot 12,0 = 3\,240,0
x_4 y_3 = 25,00 \cdot 230,0 = 5\,750,0
x_1 y_4 = 18,0 \cdot 32,0 = 576,0
Somando esses valores:
\sum (x_{i+1} y_i) = 15\,750,0 + 3\,240,0 + 5\,750,0 + 576,0 = 25\,316,0

Passo 6

Subtrair as somas e aplicar a fórmula.
Diferença:
\Delta = \sum (x_i y_{i+1}) - \sum (x_{i+1} y_i) = 45\,981,0 - 25\,316,0 = 20\,665,0
Área (metendo o valor absoluto e dividindo por 2):
\text{Área} = \frac{1}{2}\left|\Delta\right| = \frac{1}{2}\cdot 20\,665,0 = 10\,332,5Á
Unidade: metros quadrados ( \mathrm{m}^2).

Passo 7

Interpretação final rápida e incentivo: o resultado significa que o imóvel descrito por esses quatro vértices tem área de 10\,332,5\\ \mathrm{m}^2. Ótimo trabalho por chegar até aqui — na prova, aplique os mesmos passos: listar vértices, calcular os produtos em dois sentidos, somar, subtrair, dividir por 2.

Resposta

10\,332,5\\ \mathrm{m}^2

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