Dadas as coordenadas (X,Y) dos vértices de um imóvel calcular a área do polígono utilizando o método de Gauss. A ( 18,0 \mathrm{~m} ; 105,0 \mathrm{~m} ); T( 150,0 \mathrm{~m} ; 12,0 \mathrm{~m} ); P ( 270,0 \mathrm{~m} ; 230,0 \mathrm{~m} ); F ( 25,00 \mathrm{~m} ; 32,0 \mathrm{~m} ).
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a área do polígono formado pelos vértices dados, usando o método de Gauss (fórmula do polígono, também chamada de “shoelace”).
Informações fornecidas (peguei estes números do enunciado):
A: (18,0\\ \mathrm{m};\\\ 105,0\\ \mathrm{m}).
T: (150,0\\ \mathrm{m};\\\ 12,0\\ \mathrm{m}).
P: (270,0\\ \mathrm{m};\\\ 230,0\\ \mathrm{m}).
F: (25,00\\ \mathrm{m};\\\ 32,0\\ \mathrm{m}).
Vou usar essas coordenadas nessa ordem: A \to T \to P \to F e depois volto a A para fechar o polígono.
Passo 2
Explicação didática do método de Gauss (shoelace), sem pular etapas.
Regra (fórmula): para um polígono simples com n vértices (x_1,y_1), (x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n), a área é dada por
onde se entende que x_{n+1}=x_1 e y_{n+1}=y_1 (ou seja, fecha-se o polígono voltando ao primeiro vértice).
O que cada símbolo significa:
x_i é a coordenada X do i-ésimo vértice.
y_i é a coordenada Y do i-ésimo vértice.
O produto x_i y_{i+1} multiplica a X do vértice i pela Y do vértice seguinte.
Faz-se a soma desses termos no sentido horário (ou anti-horário) e subtrai-se a soma dos termos no sentido inverso x_{i+1} y_i.
Toma-se o valor absoluto (porque a fórmula pode dar número negativo dependendo da ordem) e divide-se por 2.
Pense nisso como cruzamentos de coordenadas que “medem” áreas de trapézios orientados; a soma/diferença dá duas somas que, depois de combinadas, resultam na área total.
Passo 3
Organizar os vértices numerados e repetir o primeiro no final para aplicar a fórmula:
(x_1,y_1) = (18,0,\\\ 105,0) (ponto A)
(x_2,y_2) = (150,0,\\\ 12,0) (ponto T)
(x_3,y_3) = (270,0,\\\ 230,0) (ponto P)
(x_4,y_4) = (25,00,\\\ 32,0) (ponto F)
E volta-se ao primeiro: (x_5,y_5)=(x_1,y_1)=(18,0,\\\ 105,0).
Passo 4
Calcular os termos da soma x_i y_{i+1} (o “sentido direto”) um a um e somar.
Interpretação final rápida e incentivo: o resultado significa que o imóvel descrito por esses quatro vértices tem área de 10\,332,5\\ \mathrm{m}^2. Ótimo trabalho por chegar até aqui — na prova, aplique os mesmos passos: listar vértices, calcular os produtos em dois sentidos, somar, subtrair, dividir por 2.