2.4.10 Em coordenadas cilíndricas circulares voltadas para a direita, uma determinada função vetorial é dada por
\mathbf{V}(\rho, \varphi)=\hat{\boldsymbol{\rho}} V_{\rho}(\rho, \varphi)+\hat{\varphi} V_{\varphi}(\rho, \varphi) .
Mostre que \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{V} tem somente uma componente z. Note que esse resultado valerá para qualquer vetor confinado à superfície q_{3}= constante, contanto que cada um dos produtos h_{1} V_{1} e h_{2} V_{2} seja independente de q_{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o rotor de \mathbf{V}(\rho,\varphi)=\hat{\rho}\,V_{\rho}(\rho,\varphi)+\hat{\varphi}\,V_{\varphi}(\rho,\varphi)
em coordenadas cilíndricas (com h_{1}=1, h_{2}=\rho, h_{3}=1) tem apenas componente na direção \hat{z}.
O conteúdo principal é o cálculo de \nabla\times\mathbf{V} em coordenadas curvilíneas ortogonais.

Passo 2

Em coordenadas ortogonais gerais (q_{1},q_{2},q_{3}) com fatores de escala (h_{1},h_{2},h_{3}), as componentes do rotor são
(\nabla\times \mathbf{V})_{i} =\frac{1}{h_{j}h_{k}} \Bigl[\frac{\partial}{\partial q_{j}}\bigl(h_{k}V_{k}\bigr) -\frac{\partial}{\partial q_{k}}\bigl(h_{j}V_{j}\bigr)\Bigr],
onde (i,j,k) é um ciclo de (1,2,3).

Passo 3

Para i=1 (direção \hat{q}_{1}\equiv\hat{\rho}):
(\nabla\times \mathbf{V})_{1} =\frac{1}{h_{2}h_{3}}\Bigl[\frac{\partial}{\partial q_{2}}(h_{3}V_{3}) -\frac{\partial}{\partial q_{3}}(h_{2}V_{2})\Bigr].
Em cilíndricas h_{2}=\rho, h_{3}=1, e aqui V_{3}=0 e \partial/\partial q_{3}=0, logo
(\nabla\times \mathbf{V})_{1}=0.

Passo 4

Para i=2 (direção \hat{q}_{2}\equiv\hat{\varphi}):
(\nabla\times \mathbf{V})_{2} =\frac{1}{h_{3}h_{1}}\Bigl[\frac{\partial}{\partial q_{3}}(h_{1}V_{1}) -\frac{\partial}{\partial q_{1}}(h_{3}V_{3})\Bigr] =\frac{1}{1\cdot1}\bigl[\partial_{q_{3}}(V_{1})-0\bigr].
Como \partial_{q_{3}}V_{1}=0, esta componente também é zero.

Passo 5

Para i=3 (direção \hat{q}_{3}\equiv\hat{z}):
(\nabla\times \mathbf{V})_{3} =\frac{1}{h_{1}h_{2}}\Bigl[\frac{\partial}{\partial q_{1}}(h_{2}V_{2}) -\frac{\partial}{\partial q_{2}}(h_{1}V_{1})\Bigr] =\frac{1}{1\cdot\rho}\Bigl[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho\,V_{\varphi}) -\frac{\partial}{\partial \varphi}(V_{\rho})\Bigr].
Assim o rotor tem somente componente em \hat{z}.
Esse raciocínio vale para qualquer vetor confinado à superfície q_{3}= constante em coordenadas ortogonais, desde que V_{3}=0, \partial_{q_{3}}V_{1,2}=0 e os produtos h_{1}V_{1}, h_{2}V_{2} não dependam de q_{2}, garantindo o aniquilamento das outras componentes.

Resposta

\nabla\times \mathbf{V} =\hat{z}\,\frac{1}{\rho}\Bigl[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho\,V_{\varphi}) -\frac{\partial}{\partial \varphi}(V_{\rho})\Bigr].

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