2.4.9 Resolva a Equação de Laplace, \nabla^{2} \psi=0, em coordenadas cilíndricas para \psi=\psi(\rho).
\text { Resposta: } \psi=k \ln \frac{\rho}{\rho_{0}} \text {. }

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções de
\nabla^{2}\psi=0
em coordenadas cilíndricas, supondo que \psi dependa apenas de \rho. Para isso, vamos usar a forma do Laplaciano em cilíndricas para \psi=\psi(\rho).

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, para uma função que depende só de \rho, o Laplaciano reduz-se a
\nabla^{2}\psi =\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\!\Bigl(\rho\frac{d\psi}{d\rho}\Bigr).
Logo, a equação de Laplace fica
\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\!\Bigl(\rho\,\psi'(\rho)\Bigr)=0.

Passo 3

Multiplicando por \rho e integrando em \rho, obtemos
\frac{d}{d\rho}\!\Bigl(\rho\,\psi'(\rho)\Bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \rho\,\psi'(\rho)=C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração.

Passo 4

Isolando \psi'(\rho) e integrando de novo, vem
\psi'(\rho)=\frac{C_{1}}{\rho} \quad\Longrightarrow\quad \psi(\rho) =C_{1}\ln\rho+C_{2},
sendo C_{2} outra constante de integração. Reescrevendo C_{2}=-C_{1}\ln\rho_{0} e C_{1}=k, chega-se à forma habitual
\psi(\rho)=k\ln\frac{\rho}{\rho_{0}}.

Resposta

\psi(\rho)=k\ln\frac{\rho}{\rho_{0}},
com k e \rho_{0} constantes arbitárias.

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