Ex 10. Dados históricos indicam que a chance de uma célula bacteriana geneticamente modificada sofrer mutação após 200 horas de cultivo é de 0,5 \%. Considere que um laboratório de biotecnologia recebe um lote de 100 mil células para análise e seleciona uma amostra aleatória de 30 células para estudo. Com base nessas informações, encontre:
a) A probabilidade de observarmos dez células que irão sofrer mutação após 200 horas.
b) A probabilidade de observarmos no mínimo 4 células sofrendo mutação após 200 horas.
c) A probabilidade de observarmos exatamente uma célula sofrendo mutação.
d) No lote de 100 mil, qual o número esperado de células que irão sofrer mutação após 200 horas?
e) Considerando agora que a probabilidade de mutação é 0,05 \%, qual a probabilidade de observarmos, no lote de 100 mil células, apenas 40 sofrendo mutação após 200 horas? Resolver de duas maneiras: usando a binomial e utilizando a aproximação para a Poisson ( \operatorname{com} \lambda=n . p ). Compare os resultados.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra aleatória de n=30 células, cada uma com probabilidade de mutação p=0,5\% em 200 h. Como cada célula muta ou não de forma independente, o número X de mutações na amostra segue a distribuição binomial \mathrm{Bin}(n,p). Além disso, no lote inteiro de 100 000 células podemos usar a mesma ideia para obter expectativa e, no item (e), comparar binomial com aproximação de Poisson.

Passo 2

Para calcular a probabilidade de exatamente 10 mutações usamos a função de massa da binomial:
P(X=10)=\binom{30}{10}(0,005)^{10}(0,995)^{20}.

Passo 3

Para encontrar P(X\ge4) usamos o complemento da soma dos casos de 0 a 3 mutações:
P(X\ge4)=1-\sum_{k=0}^{3}\binom{30}{k}(0,005)^{k}(0,995)^{30-k}.

Passo 4

A probabilidade de observar exatamente uma célula mutada é
P(X=1)=\binom{30}{1}(0,005)^{1}(0,995)^{29}.

Passo 5

No lote de 100 000 células, o número esperado de mutações é
\mathbb{E}[Y]=n\cdot p=100000\cdot0,005=500.

Passo 6

Agora com p=0,05\%=0,0005 e n=100000:
  1. Pelo modelo binomial, a probabilidade de exatamente 40 mutações é
P(Y=40)=\binom{100000}{40}(0,0005)^{40}(0,9995)^{99960}.
  1. Na aproximação de Poisson temos \lambda=n p=100000\cdot0,0005=50, então
P(Y=40)\approx e^{-50}\,\frac{50^{40}}{40!}.
Os dois resultados são muito próximos quando n é grande e p pequeno.

Resposta

(a) P(X=10)=\displaystyle \binom{30}{10}(0,005)^{10}(0,995)^{20}.
(b) P(X\ge4)=1-\displaystyle\sum_{k=0}^{3}\binom{30}{k}(0,005)^{k}(0,995)^{30-k}.
(c) P(X=1)=\displaystyle \binom{30}{1}(0,005)^{1}(0,995)^{29}.
(d) Número esperado =100000\cdot0,005=500.
(e)
– Binomial: P(Y=40)=\displaystyle \binom{100000}{40}(0,0005)^{40}(0,9995)^{99960}.
– Poisson: P(Y=40)\approx e^{-50}\,\dfrac{50^{40}}{40!}.

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