Ex 10. Dados históricos indicam que a chance de uma célula bacteriana geneticamente modificada sofrer mutação após 200 horas de cultivo é de
. Considere que um laboratório de biotecnologia recebe um lote de 100 mil células para análise e seleciona uma amostra aleatória de 30 células para estudo. Com base nessas informações, encontre:
a) A probabilidade de observarmos dez células que irão sofrer mutação após 200 horas.
b) A probabilidade de observarmos no mínimo 4 células sofrendo mutação após 200 horas.
c) A probabilidade de observarmos exatamente uma célula sofrendo mutação.
d) No lote de 100 mil, qual o número esperado de células que irão sofrer mutação após 200 horas?
e) Considerando agora que a probabilidade de mutação é
, qual a probabilidade de observarmos, no lote de 100 mil células, apenas 40 sofrendo mutação após 200 horas? Resolver de duas maneiras: usando a binomial e utilizando a aproximação para a Poisson (
). Compare os resultados.
a) A probabilidade de observarmos dez células que irão sofrer mutação após 200 horas.
b) A probabilidade de observarmos no mínimo 4 células sofrendo mutação após 200 horas.
c) A probabilidade de observarmos exatamente uma célula sofrendo mutação.
d) No lote de 100 mil, qual o número esperado de células que irão sofrer mutação após 200 horas?
e) Considerando agora que a probabilidade de mutação é
Passo 1
O enunciado nos dá uma amostra aleatória de
células, cada uma com probabilidade de mutação
em 200 h. Como cada célula muta ou não de forma independente, o número
de mutações na amostra segue a distribuição binomial
. Além disso, no lote inteiro de 100 000 células podemos usar a mesma ideia para obter expectativa e, no item (e), comparar binomial com aproximação de Poisson.
Passo 2
Para calcular a probabilidade de exatamente 10 mutações usamos a função de massa da binomial:
Passo 3
Para encontrar
usamos o complemento da soma dos casos de 0 a 3 mutações:
Passo 4
A probabilidade de observar exatamente uma célula mutada é
Passo 5
No lote de 100 000 células, o número esperado de mutações é
Passo 6
Agora com
e
:
- Pelo modelo binomial, a probabilidade de exatamente 40 mutações é
- Na aproximação de Poisson temos
, então
Os dois resultados são muito próximos quando
é grande e
pequeno.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Número esperado
(e)
– Binomial:
– Poisson:
(b)
(c)
(d) Número esperado
(e)
– Binomial:
– Poisson: