10)QUAL É A FÓRMULA DA FORÇA MAGNÉTICA (LEI DE LORENTZ) TROCADA ENTRE DOIS FIOS RETILÍNEOS PARALELOS, E NOMINE CADA COMPONENTE DA FÓRMULA E DE A SUA UNIDADE?

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados que vamos usar.
  • Pedido: apresentar a fórmula da força magnética (lei de Lorentz) “trocada” entre dois fios retilíneos paralelos, nomear cada componente da fórmula e dar a unidade de cada uma.
  • Situação física considerada (dados implícitos que usaremos): dois fios longos, retilíneos e paralelos, separados por distância \;r\;, com correntes elétricas \;I_1\; e \;I_2\; atravessando-os. Vamos considerar um comprimento comum \;L\; do segundo fio sobre o qual se calcula a força exercida pelo campo criado pelo primeiro fio. Não há outros campos magnéticos externos nem efeitos relativísticos a considerar.

Passo 2

Lei de Lorentz para uma carga pontual e para um elemento de corrente (conceitos básicos que usamos).
  • Lei de Lorentz para uma carga pontual: a força magnética sobre uma carga q que se move com velocidade \mathbf{v} num campo magnético \mathbf{B} é
\mathbf{F} = q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}.
Explicação: \mathbf{v}\times\mathbf{B} é o produto vetorial; sua magnitude é vB\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \mathbf{v} e \mathbf{B}. Unidades: \;q em \mathrm{C} (coulomb), \;v em \mathrm{m/s}, \;B em \mathrm{T} (tesla), e \mathbf{F} em \mathrm{N} (newton).
  • Para um fio com corrente I e um trecho vetorial \mathbf{L} (comprimento com direção do fluxo de corrente), a força sobre esse trecho imerso em \mathbf{B} é a soma das forças sobre as cargas em movimento, resultando em
\mathbf{F} = I\,\mathbf{L}\times\mathbf{B}.
Magnitude: F = I L B \sin\theta. Aqui I em \mathrm{A}, L em \mathrm{m}.

Passo 3

Campo magnético produzido por um fio longo e retilíneo (fórmula essencial usada).
  • Para um fio longo e retilíneo com corrente \;I\;, o módulo do campo magnético a uma distância radial \;r\; do fio vale (resultado da lei de Ampère)
B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}.
Explicação: \mu_0 é a permeabilidade magnética do vácuo, com valor numérico \displaystyle \mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{N/A^2} (ou \mathrm{H/m}). Unidade de B é \mathrm{T} e essa expressão dá \mathrm{T} porque \mu_0 tem unidade \mathrm{N/A^2} e \mathrm{N/A^2}\cdot\mathrm{A}/\mathrm{m}=\mathrm{N/(A\cdot m)}=\mathrm{T}.

Passo 4

Aplicar o campo de um fio sobre o outro e usar a forma da força para um elemento de corrente.
  • Campo produzido pelo fio 1 no local do fio 2 (pegando o valor da distância \;r\;):
B_1(r)=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi r}.
  • Força sobre um trecho de comprimento \;L\; do fio 2, usando \mathbf{F}=I_2\mathbf{L}\times\mathbf{B}_1. Como \mathbf{L} (direção da corrente em 2) é ortogonal ao campo circular \mathbf{B}_1 produzido por 1, o ângulo é \;90^\circ\; e \sin 90^\circ=1. Assim a magnitude da força é
F = I_2\,L\,B_1 = I_2\,L\cdot\frac{\mu_0 I_1}{2\pi r}.
  • Simplificando:
F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2\pi r}.
  • Força por unidade de comprimento (muito usada e prática):
\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}.

Passo 5

Direção (sinal) da força e interpretação física (atração ou repulsão).
  • Regra prática: se \;I_1\; e \;I_2\; têm o mesmo sentido (correntes paralelas no mesmo sentido), as linhas de campo fazem com que as correntes se atraiam; se os sentidos são opostos, as correntes se repelem.
  • Em termos vetoriais, usa-se \mathbf{F}_{21}=I_2\mathbf{L}_2\times\mathbf{B}_1: o sentido de \mathbf{B}_1 é dado pela regra da mão direita ao circular o polegar na direção de \mathbf{I}_1.

Passo 6

Nomear cada símbolo da fórmula final e dar a unidade de cada um (exigido explicitamente).
  • \;F\;: módulo da força magnética entre os trechos considerados do fio 1 e do fio 2. Unidade: \mathrm{N} (newton).
  • \;L\;: comprimento do trecho do fio 2 sobre o qual se calcula a força. Unidade: \mathrm{m} (metro).
  • \;I_1,\;I_2\;: correntes elétricas nos fios 1 e 2. Unidade: \mathrm{A} (ampere).
  • \;r\;: distância entre os eixos dos dois fios (separação entre os fios). Unidade: \mathrm{m} (metro).
  • \;\mu_0\;: permeabilidade magnética do vácuo. Unidade: \mathrm{N/A^2} (pode também ser vista como \mathrm{H/m}, henry por metro). Valor numérico: \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{N/A^2}.
  • \;B\;: módulo do campo magnético (quando aparece na expressão intermediária). Unidade: \mathrm{T} (tesla), e \;1\\ \mathrm{T}=1\\ \mathrm{N/(A\cdot m)}.
  • (Adicional — lei de Lorentz em carga) \;q\;: carga elétrica em coulombs \mathrm{C}; \;v\;: velocidade em \mathrm{m/s}.

Passo 7

Verificação dimensional rápida (confirma que a fórmula dá unidade de força por comprimento corretamente).
  • Dimensionalmente,
\frac{F}{L}=\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}\quad\Rightarrow\quad [\text{LHS}]=\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}.
  • Usando [\mu_0]=\mathrm{N/A^2} e [I_1 I_2]=\mathrm{A^2} e [r]=\mathrm{m}, obtemos \mathrm{N/A^2}\cdot\mathrm{A^2}/\mathrm{m}=\mathrm{N/m}, consistente.

Passo 8

Dicas de prova (curtas e práticas)
  • Memorize a forma por comprimento \displaystyle \frac{F}{L}=\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r} e a regra: correntes no mesmo sentido se atraem, correntes opostas se repelem.
  • Se precisarem do sinal vetorial, escreva \mathbf{F}_{21}=I_2\mathbf{L}_2\times\mathbf{B}_1 com \mathbf{B}_1 dado por \displaystyle \mathbf{B}_1=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi r}\,\hat{\varphi} (vetor azimutal no sistema cilíndrico).

Resposta

\mathbf{F}=q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B} \
\mathbf{F}=I\,\mathbf{L}\times\mathbf{B} \
\displaystyle B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r} \
\displaystyle F=\frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2\pi r} \
\displaystyle \frac{F}{L}=\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r} \
Componentes e unidades: F em \mathrm{N}; L e r em \mathrm{m}; I_1,I_2 em \mathrm{A}; \mu_0 em \mathrm{N/A^2} (valor \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{N/A^2}); B em \mathrm{T}; q em \mathrm{C}; v em \mathrm{m/s}.

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