The lap joint is connected together using a 1.25 in. diameter bolt. If the bolt is made from a material having a shear stress-strain diagram that is approximated as shown, determine the shear strain developed in the shear plane of the bolt when P=75 kip.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a deformação por cisalhamento desenvolvida no plano de cisalhamento do parafuso quando P=75\\ \text{kip}. Dados fornecidos no enunciado:
  • diâmetro do parafuso: d=1,25\\ \text{in};
  • carga aplicada: P=75\\ \text{kip}=75{,}000\\ \text{lb};
  • o parafuso está submetido a cisalhamento (um plano de cisalhamento foi indicado);
  • foi dito que o material do parafuso tem um diagrama tensão–deformação por cisalhamento “aproximado como mostrado” (ou seja, a curva tensão \times deformação em cisalhamento é necessária para obter a deformação correspondente à tensão aplicada).
    Observação importante: o enunciado refere-se a um diagrama (figura) que não foi enviado aqui. Esse diagrama é necessário para ler diretamente a deformação associada à tensão de cisalhamento ou para aplicar uma lei constitutiva não linear.

Passo 2

Calcular a tensão de cisalhamento média no plano de cisalhamento a partir da carga aplicada. Explicação didática: em um cisalhamento simples a tensão de cisalhamento média é a razão entre a força cortante e a área da seção transversal que resiste ao cisalhamento. Para um parafuso circular, a área transversal é a área do círculo de diâmetro d:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Agora substituímos d=1{,}25\\ \text{in}. Primeiro calculamos d^{2}:
d^{2}=1{,}25^{2}=1{,}5625.
Logo
A=\frac{\pi\cdot 1{,}5625}{4}=\pi\cdot 0{,}390625\approx 1{,}2272\\ \text{in}^{2}.

Passo 3

Calcular a tensão de cisalhamento média \tau. Fórmula e substituição:
\tau=\frac{P}{A}.
Substituindo P=75{,}000\\ \text{lb} e A\approx 1{,}2272\\ \text{in}^2:
\tau=\frac{75{,}000}{1{,}2272}\\ \text{psi}\approx 61{,}10\times 10^{3}\\ \text{psi}=61{,}1\\ \text{ksi}.
Interpretação: a tensão de cisalhamento média que age no plano de cisalhamento do parafuso é aproximadamente \tau\approx 61{,}1\\ \text{ksi}. Esse é o valor de tensão que devemos localizar no diagrama tensão–deformação em cisalhamento para obter a deformação correspondente.

Passo 4

Explicar como obter a deformação por cisalhamento \gamma a partir do diagrama tensão–deformação (a parte “didática” pedida):
  • Se o diagrama estivesse disponível, você faria assim: localiza no eixo das tensões o valor \tau=61{,}1\\ \text{ksi} e lê no eixo horizontal (ou onde estiver a deformação) o valor \gamma correspondente àquela tensão. Pronto — essa leitura é a deformação por cisalhamento solicitada.
  • Se a curva for linear (região elástica linear), vale a lei de Hooke em cisalhamento:
\tau=G\,\gamma,
onde G é o módulo de cisalhamento (ou módulo de rigidez) do material e \gamma é a deformação por cisalhamento. Desse modo,
\gamma=\frac{\tau}{G}.
Explicando G: se você conhece o módulo de Young E e o coeficiente de Poisson \nu, pode calcular
G=\frac{E}{2(1+\nu)}.
Significado das variáveis: E é a rigidez à tração/compressão do material, \nu é o coeficiente de Poisson (relação entre deformações lateral e axial), G mede a resistência a deformações de cisalhamento.
  • Exemplo numérico ilustrativo (apenas exemplo): para um aço comum usa-se aproximadamente E=29{,}000\\ \text{ksi} e \nu=0{,}3, então
G=\frac{29{,}000}{2(1+0{,}3)}=\frac{29{,}000}{2{,}6}\approx 11{,}153{,}8\\ \text{ksi}.
Usando esse G de exemplo:
\gamma=\frac{61{,}1\\ \text{ksi}}{11{,}153{,}8\\ \text{ksi}}\approx 0{,}00548.
Isso dá uma ideia de ordem de grandeza ( \gamma\approx 5{,}5\times 10^{-3}), mas atenção: isso só vale se (1) o material for realmente aquele do exemplo e (2) a tensão de 61{,}1\\ \text{ksi} estiver na região linear do diagrama. Se o diagrama for não linear (escoamento, endurecimento, etc.) você não pode usar essa fórmula e deve ler o valor no diagrama.

Passo 5

Conclusão prática e o porquê de não podermos dar um número definitivo a partir do enunciado recebido: o enunciado faz referência a um diagrama tensão–deformação por cisalhamento “aproximado como mostrado”, mas esse diagrama não foi enviado aqui. Sem esse diagrama (ou sem os valores de G, E e \nu e a informação de que a resposta está na região elástica linear) não há como determinar corretamente a deformação por cisalhamento pedida. Por isso não posso fornecer um único valor final confiável; o que posso garantir é a tensão que deve ser usada no diagrama, \tau\approx 61{,}1\\ \text{ksi}, e os procedimentos para obter \gamma a partir dessa tensão (leitura direta no diagrama ou uso de \gamma=\tau/G se a região for linear e G conhecido).

Resposta

Não é possível determinar a deformação por cisalhamento porque o diagrama tensão–deformação em cisalhamento referido no enunciado não foi fornecido; a tensão de cisalhamento para usar no diagrama é \tau\approx 61{,}1\\ \text{ksi}.

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