10 - Modelo atômico de Rutheford
O experimento de espalhamento de Rutheford e colaboradores foi decisivo para a descoberta do núcleo atômico. O experimento consiste em utilizar partículas
(núcleos de He, de carga 2e), produzidas por fontes radioativas, para bombardear uma finíssima folha de ouro (número atômico 79). No experimento foi observado que a maioria das partículas passava direto, algumas sofriam grandes desvios e uma pequena fração era
defletida de volta. Desse experimento surgiu o modelo atômico que considera que, no centro do átomo, há um núcleo muito pequeno, mas que concentra quase toda a massa do átomo e cuja carga elétrica é igual a Ze, onde Z é o número atômico; em torno desse núcleo existem Z elétrons, o que garante a neutralidade elétrica do átomo. Considere uma colisão frontal entre uma partícula
e o núcleo atômico do átomo de ouro, no qual a partícula é retroespalhada. (a) Se a energia cinética da partícula incidente é de
, calcule a distância de mínima aproximação entre as duas partículas. Essa distância fornece o valor do raio do núcleo atômico. Dê a resposta em Fermi ( 1 fermi
). (b) O raio do núcleo é calculado pela fórmula empírica
, onde
fermi e
é o número de massa (número de prótons mais o número de nêutrons). Compare os dois resultados.
Resposta: (a)
fermi; (b)
fermi
defletida de volta. Desse experimento surgiu o modelo atômico que considera que, no centro do átomo, há um núcleo muito pequeno, mas que concentra quase toda a massa do átomo e cuja carga elétrica é igual a Ze, onde Z é o número atômico; em torno desse núcleo existem Z elétrons, o que garante a neutralidade elétrica do átomo. Considere uma colisão frontal entre uma partícula
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e fornece estes dados (vou listar tudo claramente):
- Energia cinética da partícula
: . - Partícula
tem carga (dois prótons) e o núcleo de ouro tem número atômico , portanto carga . - No choque é frontal (head‑on) e a partícula é retroespalhada — isso significa que, no ponto de mínima aproximação, toda a energia cinética disponível foi convertida em energia potencial eletrostática entre as cargas.
- Perguntas:
(a) calcular a distância de mínima aproximação (essa distância é uma estimativa do raio que a experiência “sondou”), em fermi (1 fermi);
(b) calcular o raio estimado pela fórmula empíricacom fermi e o número de massa do ouro (usar ), e comparar com o resultado de (a).
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicando passo‑a‑passo, sem assumir conhecimento prévio):
- Em um choque frontal, a partícula vem com energia cinética
. À medida que ela se aproxima do núcleo positivo, é repelida pela força elétrica e perde velocidade; no ponto de mínima aproximação a velocidade é zero momentaneamente e a energia cinética inicial foi transformada em energia potencial eletrostática . - Conservação de energia (sem trocas de outras energias) dá:
- Para duas cargas puntiformes
e separadas por distância , a energia potencial eletrostática é
Aqui
e
são as cargas (em coulombs),
é a permissividade do vácuo; a combinação
é a constante eletrostática.
- Aplicando isso ao caso:
(partícula ) e (núcleo de ouro), então o produto das cargas é
- Assim a igualdade energia cinética = energia potencial no ponto de maior aproximação é
- Reorganizando para
:
Passo 3
Valor numérico prático (uma constante muito usada em física nuclear):
- É comum usar a unidade
para energia e (fermi) para distância. Com essas unidades, a combinação vale aproximadamente . Isso significa que, se , então tem valor numérico em MeV. - Usando essa forma conveniente, para o nosso produto de cargas
obtemos
- Substituindo em
com , temos (mostrando as contas):
Passo 4
Fazer a aritmética (passo a passo, sem pular):
- Primeiro o numerador:
.
- Agora dividir pelo denominador
:
- Dividindo:
. - Portanto, em fermi:
(Arredondei para três dígitos significativos; se usar a constante com mais casas decimais o valor fica muito próximo, ~
.)
Passo 5
Calcular o raio empírico pela fórmula
(mostrando como obter
sem pular passos):
- Para ouro usamos
(número de massa típico do ouro). - Queremos a raiz cúbica de
, isto é . Podemos aproximar por tentativa: -
(um pouco menor que 197). -
(um pouco maior que 197). - Então
está entre e ; tomando obtemos boa aproximação.
-
- Assim
. - Agora
.
Passo 6
Comparação e interpretação física (sintetizando e motivando para prova):
- Resultado do caso de espalhamento (energia
): . - Resultado empírico para o raio nuclear do ouro:
. - Comparando os dois números vemos que
é muito maior que o raio real do núcleo: a razão é
- Interpretação: com uma energia de
a partícula não chega dentro do “tamanho real” do núcleo de ouro — a repulsão coulombiana a faz parar e reverter a uma distância bem maior que o raio nuclear. Para sondar a superfície ou interior do núcleo seria necessário fornecer energia muito maior às partículas incidentes. Esse é o raciocínio que Rutherford usou para concluir que o núcleo é pequeno e muito mais denso que o resto do átomo.
Resposta
(a)
(b)
(b)