Um esfera de raio R tem uma densidade volumétrica de carga dada por
\rho(r)=\rho_{0} \frac{R}{r}
onde \rho_{0} é uma constante com dimensão volumétrica de carga. Calcule
a energia eletrostática do sistema.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera de raio \,R\, com densidade volumétrica de carga dependente do raio:
\rho(r)=\rho_{0}\,\frac{R}{r},
onde \rho_{0} é constante. A tarefa é calcular a energia eletrostática total do sistema (energia armazenada no campo elétrico produzido por essa distribuição de carga).
Informações relevantes:
A distribuição é esfericamente simétrica e válida para 0\le r\le R (pressuposto usual: a carga está contida na esfera de raio \,R).
A densidade tem singularidade em r=0 como 1/r, mas isso pode ser integrável quando multiplicada pelo elemento de volume.
O que precisamos obter: a energia eletrostática total U do campo.
Passo 2
Vamos primeiro calcular a carga total \,Q\, da esfera, porque isso é útil e também serve para checar se a distribuição tem carga finita. A carga total é a integral da densidade sobre o volume:
Q=\int_{V}\rho(r)\,dV.
Usando coordenadas esféricas e a simetria esférica, dV=4\pi r^{2}dr. Então
Comentário didático: mesmo com \rho\propto1/r, o fator r^{2} do volume faz o integrando comportar-se como \sim r perto de zero, que é integrável; por isso Q é finito.
Passo 3
Para obter a energia é conveniente encontrar o campo elétrico \mathbf{E}(r). Com simetria esférica usamos a Lei de Gauss (em forma integral):
onde Q_{\text{int}} é a carga encoberta por uma superfície esférica de raio r. Pela simetria \mathbf{E} é radial e tem módulo E(r), e a área da esfera é 4\pi r^{2}. Logo
Somando os coeficientes 1/6+1/2=1/6+3/6=4/6=2/3, obtemos a forma final em termos de \rho_{0} e R. Também podemos reescrever a energia em termos da carga total \,Q=2\pi\rho_{0}R^{3}\, substituindo \rho_{0}=Q/(2\pi R^{3}) quando desejado.