Um esfera de raio R tem uma densidade volumétrica de carga dada por
\rho(r)=\rho_{0} \frac{R}{r}
onde \rho_{0} é uma constante com dimensão volumétrica de carga. Calcule
a energia eletrostática do sistema.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera de raio \,R\, com densidade volumétrica de carga dependente do raio:
\rho(r)=\rho_{0}\,\frac{R}{r},
onde \rho_{0} é constante. A tarefa é calcular a energia eletrostática total do sistema (energia armazenada no campo elétrico produzido por essa distribuição de carga).
Informações relevantes:
  • A distribuição é esfericamente simétrica e válida para 0\le r\le R (pressuposto usual: a carga está contida na esfera de raio \,R).
  • A densidade tem singularidade em r=0 como 1/r, mas isso pode ser integrável quando multiplicada pelo elemento de volume.
  • O que precisamos obter: a energia eletrostática total U do campo.

Passo 2

Vamos primeiro calcular a carga total \,Q\, da esfera, porque isso é útil e também serve para checar se a distribuição tem carga finita. A carga total é a integral da densidade sobre o volume:
Q=\int_{V}\rho(r)\,dV.
Usando coordenadas esféricas e a simetria esférica, dV=4\pi r^{2}dr. Então
Q=\int_{0}^{R}\rho(r)\,4\pi r^{2}\,dr =4\pi\rho_{0}R\int_{0}^{R}r\,dr.
Calcule a integral simples:
\int_{0}^{R}r\,dr=\left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{0}^{R}=\frac{R^{2}}{2}.
Assim
Q=4\pi\rho_{0}R\cdot\frac{R^{2}}{2}=2\pi\rho_{0}R^{3}.
Comentário didático: mesmo com \rho\propto1/r, o fator r^{2} do volume faz o integrando comportar-se como \sim r perto de zero, que é integrável; por isso Q é finito.

Passo 3

Para obter a energia é conveniente encontrar o campo elétrico \mathbf{E}(r). Com simetria esférica usamos a Lei de Gauss (em forma integral):
\oint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\text{int}} é a carga encoberta por uma superfície esférica de raio r. Pela simetria \mathbf{E} é radial e tem módulo E(r), e a área da esfera é 4\pi r^{2}. Logo
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_{0}}.
Calcule Q_{\text{int}}(r) para r\le R:
Q_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{r}\rho(r')\,4\pi r'^{2}\,dr' =4\pi\rho_{0}R\int_{0}^{r}r'\,dr' =4\pi\rho_{0}R\cdot\frac{r^{2}}{2}=2\pi\rho_{0}R\,r^{2}.
Substituindo em Gauss:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{2\pi\rho_{0}R\,r^{2}}{\varepsilon_{0}} \quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{\rho_{0}R}{2\varepsilon_{0}}\qquad\text{para }0\le r\le R.
Observação: o campo dentro é constante — interessante!
Para r\ge R a carga encoberta é a carga total Q=2\pi\rho_{0}R^{3}. Assim, para r\ge R,
E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} =\frac{2\pi\rho_{0}R^{3}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} =\frac{\rho_{0}R^{3}}{2\varepsilon_{0}r^{2}}.

Passo 4

Agora usamos a expressão da energia do campo elétrico em todo o espaço:
U=\frac{\varepsilon_{0}}{2}\int_{\text{todo espaço}}E^{2}\,dV.ç
Pela simetria separamos em duas partes: U=U_{\text{int}}+U_{\text{ext}}, com integração em 0\le r\le R e R\le r<\infty.
Calcule U_{\text{int}} (contribuição da região interna):
U_{\text{int}}=\frac{\varepsilon_{0}}{2}\int_{0}^{R}E^{2}(r)\,4\pi r^{2}\,dr.
Como E(r)=\dfrac{\rho_{0}R}{2\varepsilon_{0}} (constante) dentro,
E^{2}=\frac{\rho_{0}^{2}R^{2}}{4\varepsilon_{0}^{2}}.
Substituindo,
U_{\text{int}}=\frac{\varepsilon_{0}}{2}\cdot\frac{\rho_{0}^{2}R^{2}}{4\varepsilon_{0}^{2}}\cdot 4\pi\int_{0}^{R}r^{2}\,dr.
Calcule a integral:
\int_{0}^{R}r^{2}\,dr=\frac{R^{3}}{3}.
Simplificando coeficientes:
U_{\text{int}}=\frac{\varepsilon_{0}}{2}\cdot\frac{\rho_{0}^{2}R^{2}}{4\varepsilon_{0}^{2}}\cdot 4\pi\cdot\frac{R^{3}}{3} =\frac{\rho_{0}^{2}R^{5}\pi}{6\varepsilon_{0}}.

Passo 5

Calcule U_{\text{ext}} (contribuição da região externa, r\ge R):
U_{\text{ext}}=\frac{\varepsilon_{0}}{2}\int_{R}^{\infty}E^{2}(r)\,4\pi r^{2}\,dr.
Aqui E(r)=\dfrac{\rho_{0}R^{3}}{2\varepsilon_{0}r^{2}}. Então
E^{2}(r)=\frac{\rho_{0}^{2}R^{6}}{4\varepsilon_{0}^{2}r^{4}}.
Substituindo:
U_{\text{ext}}=\frac{\varepsilon_{0}}{2}\int_{R}^{\infty}\frac{\rho_{0}^{2}R^{6}}{4\varepsilon_{0}^{2}r^{4}}\,4\pi r^{2}\,dr.
Simplificando fatores constantes:
U_{\text{ext}}=\frac{\rho_{0}^{2}R^{6}\,4\pi}{8\varepsilon_{0}}\int_{R}^{\infty}\frac{1}{r^{2}}\,dr =\frac{\pi\rho_{0}^{2}R^{6}}{2\varepsilon_{0}}\int_{R}^{\infty}r^{-2}\,dr.
A integral é
\int_{R}^{\infty}r^{-2}\,dr=\left.-\frac{1}{r}\right|_{R}^{\infty}=\frac{1}{R}.
Portanto
U_{\text{ext}}=\frac{\pi\rho_{0}^{2}R^{6}}{2\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{R} =\frac{\pi\rho_{0}^{2}R^{5}}{2\varepsilon_{0}}.

Passo 6

Somando as duas contribuições U_{\text{int}} e U_{\text{ext}}:
U=U_{\text{int}}+U_{\text{ext}}=\frac{\pi\rho_{0}^{2}R^{5}}{6\varepsilon_{0}}+\frac{\pi\rho_{0}^{2}R^{5}}{2\varepsilon_{0}}.
Somando os coeficientes 1/6+1/2=1/6+3/6=4/6=2/3, obtemos a forma final em termos de \rho_{0} e R. Também podemos reescrever a energia em termos da carga total \,Q=2\pi\rho_{0}R^{3}\, substituindo \rho_{0}=Q/(2\pi R^{3}) quando desejado.

Resposta

U=\frac{2\pi\rho_{0}^{2}R^{5}}{3\varepsilon_{0}}
U=\frac{Q^{2}}{6\pi\varepsilon_{0}R},\quad\text{com }Q=2\pi\rho_{0}R^{3}

Exercícios relacionados