Duas cascas esféricas condutoras, concêntricas, de raios
e
com
, estão carregadas com cargas 2 Q e -Q , respectivamente. Calcule a energia eletrostática do sistema via campo elétrico e via potencial eletrostático.
Resposta:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Duas cascas esféricas condutoras, concêntricas, com raios
e , com . - As cargas das cascas são: casca interna (raio
) com carga e casca externa (raio ) com carga . - Pede-se a energia eletrostática total
do sistema, calculada de duas maneiras: - via campo elétrico (integrando a densidade de energia
em todo o espaço); - via potencial eletrostático (usando a expressão apropriada para condensadores/conductores).
- via campo elétrico (integrando a densidade de energia
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As cascas são condutoras e concêntricas (logo campos e potenciais dependem só de
). - Cargas totais conhecidas:
na casca de raio e na casca de raio . - Valor da permissividade do vácuo:
.
Passo 2
Determinar o campo elétrico em cada região (usando Gauss, porque a simetria esférica facilita muito).
Regiões:
- Região I:
(dentro da casca interna). Como é condutor, campo elétrico interno é zero:
- Região II:
(entre as cascas). Utilizando a lei de Gauss para uma superfície esférica de raio com , a carga inteira dentro da superfície é . Portanto o campo é o mesmo que de uma carga pontual no centro:
- Região III:
(fora das duas cascas). A carga total envolvida é . Assim
Explicação curta: para cascas esféricas condutoras a distribuição externa se comporta como carga pontual no centro para pontos fora; dentro de uma casca a contribuição dessa casca é constante (campo zero) e a contribuição de cascas internas se comporta como cargas pontuais.
Passo 3
Energia via campo elétrico: fórmula e setup da integral.
A densidade de energia eletrostática é
A energia total é a integral dessa densidade sobre todo o espaço:
Como
para
, só precisamos integrar nas regiões II e III:
Passo 4
Calcular a contribuição da região II (
).
Primeiro escrever
explicitamente:
Calcular
e inserir na integral:
Então a energia na região II é
Agora simplificar o integrando antes de integrar:
Portanto
Integrando
:
Passo 5
Calcular a contribuição da região III (
).
Escrevemos
:
Logo
A energia na região III é
Simplificando o integrando:
Portanto
Integrando:
Passo 6
Somar as contribuições das duas regiões para obter
via campo elétrico.
Colocando em comum denominador
:
Agrupando os termos em
:
Reescrevendo numa única fração:
Passo 7
Agora calcular
via potencial eletrostático (método das cargas e potenciais de condutores).
Teorema usado: para um sistema de condutores com cargas
e potenciais
(potencial de cada condutor medido em relação ao infinito), a energia eletrostática pode ser escrita como
Isto é útil porque cada casca é um condutor e tem potencial uniforme.
Passo 8
Calcular os potenciais das cascas.
Potencial da casca interna (raio
), devido às duas cascas:
- contribuição da própria carga
(na superfície) é ; - contribuição da casca externa
é, para pontos internos à casca externa, igual ao potencial na superfície da casca externa, ou seja .
Logo o potencial da casca interna é
Potencial da casca externa (raio
):
- contribuição da casca interna
vista a distância é ; - contribuição da própria casca externa é
.
Portanto
Observação: atenção ao sinal da carga externa
ao somar as contribuições.
Passo 9
Aplicar a fórmula
.
Com
,
,
e
obtidos:
Fatorando
(porque
) e simplificando os produtos:
Isto coincide exatamente com o resultado obtido pela integração do campo.