As informações relevantes são os seis elementos de A: primeira coluna \begin{pmatrix}1\\[2pt]\tfrac{1}{2}\\[2pt]-2\end{pmatrix} e segunda coluna \begin{pmatrix}-2\\[2pt]-1\\[2pt]4\end{pmatrix}. O objetivo é encontrar todos os vetores x=(x_1,x_2)^{T} que satisfazem A x=0.]
Passo 2
Primeiro, vamos escrever explicitamente o sistema homogêneo A x=0\). Seja \(x=\begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\end{pmatrix}\). Multiplicando, obtemos as três equações
\[\begin{cases} 1\cdot x_1 + (-2)\cdot x_2 = 0,\\[6pt] \dfrac{1}{2}\cdot x_1 + (-1)\cdot x_2 = 0,\\[6pt] -2\cdot x_1 + 4\cdot x_2 = 0. \end{cases}
Essas três equações descrevem as condições que x_1\] e \(x_2 devem satisfazer para estar no núcleo. Nosso trabalho é resolver esse sistema homogêneo.]
Passo 3
Antes de fazer eliminação, note uma observação muito útil: compare a segunda coluna com a primeira coluna de A. Multiplicando a primeira coluna por -2 obtemos
que é exatamente a segunda coluna. Ou seja, a segunda coluna é -2 vezes a primeira coluna. Isso significa que as duas colunas são linearmente dependentes, portanto a matriz tem posto \operatorname{rank}(A)=1 (pois a primeira coluna não é o vetor zero).]
Passo 4
Usando o fato do passo anterior, o sistema A x=0 pode ser visto como combinação linear das colunas:
A primeira coluna não é o vetor zero, logo a única maneira dessa igualdade valer é que o coeficiente seja zero:
x_1 - 2x_2 = 0.]
Passo 5
Da equação x_1 - 2x_2 = 0 obtemos x_1 = 2x_2. Podemos parametrizar a solução tomando t = x_2 como parâmetro livre (porque o espaço de incógnitas tem dimensão 2 e o posto é 1, então a nulidade é 2-1=1). Assim
Concluímos que o núcleo é um subespaço unidimensional gerado pelo vetor \begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix}. Uma base de N(A) é \{\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix}\} e \dim N(A)=1.]