Responda as questões.
( 5 pontos) Defina base de um espaço vetorial. Dê um exemplo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Definir o que é uma base de um espaço vetorial.
  • Dar um exemplo de base.
Não há outros dados numéricos ou condicionantes no enunciado.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que é combinação linear, porque a definição de base depende disso.
Definição de combinação linear:
  • Dado um conjunto de vetores \{v_1,v_2,\dots,v_k\} em um espaço vetorial V, uma combinação linear desses vetores é qualquer vetor da forma
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_k v_k,
onde \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k são escalares (pertencem ao corpo dos escalares do espaço, por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}).
  • O conjunto de todas as combinações lineares de \{v_1,\dots,v_k\} chama‑se o subespaço gerado por esses vetores, ou o seu span, denotado por \text{span}\{v_1,\dots,v_k\}.
Vou explicar de forma intuitiva: pensar em combinar vetores com coeficientes para “construir” outros vetores. Se a combinação linear de um conjunto produz todo o espaço V, dizemos que esse conjunto gera V.

Passo 3

Agora precisamos entender independência linear, outra peça chave.
Definição de independência linear:
  • O conjunto \{v_1,\dots,v_k\}\subset V é linearmente independente se a única solução do sistema
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_k v_k=0
é \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_k=0.
  • Intuição: nenhum dos vetores do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Se existirem coeficientes não todos nulos que façam a soma ser o vetor zero, então há dependência linear.
Exemplo rápido para fixar a ideia: em \mathbb{R}^2, os vetores (1,0) e (0,1) são linearmente independentes porque não há escalares não nulos que combinem para dar (0,0). Já (1,0), (2,0) são dependentes porque (-2)\cdot(1,0)+1\cdot(2,0)=(0,0).

Passo 4

Agora a definição formal de base (a central da questão).
Definição de base:
  • Um conjunto B=\{v_1,v_2,\dots,v_n\}\subset V é uma base de um espaço vetorial V se e somente se:
    1. B é linearmente independente.
    2. B gera V, isto é, \text{span}(B)=V.
Em palavras: uma base é um conjunto de vetores que, com combinações lineares, consegue formar qualquer vetor de V, e que não tem redundância (nenhum vetor da base é combinação linear dos outros).

Passo 5

Uma propriedade importante que costuma cair na prova: coordenadas únicas.
Teorema (unicidade das coordenadas):
  • Se B=\{v_1,\dots,v_n\} é uma base de V, então cada vetor v\in V pode ser escrito de forma única como
v=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_n v_n.
Prova curta e didática:
  • Sabemos que existe pelo fato de B gerar V.
  • Para ver a unicidade, suponha que
v=\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_n v_n=\beta_1 v_1+\cdots+\beta_n v_n.
Subtraindo as duas expressões:
0=(\alpha_1-\beta_1)v_1+\cdots+(\alpha_n-\beta_n)v_n.
Como B é linearmente independente, os coeficientes devem ser todos zero, então \alpha_i-\beta_i=0 para cada i. Logo \alpha_i=\beta_i — única escrita possível. Isso é muito útil na prova porque permite falar em “coordenadas” de um vetor em relação a uma base.

Passo 6

Como checar na prática se um conjunto é base (método para prova):
  • Mostrar que gera V: pegar um vetor genérico de V (por exemplo (x,y,z) em \mathbb{R}^3) e expressá‑lo como combinação linear dos vetores do conjunto, resolvendo para os coeficientes.
  • Mostrar que é linearmente independente: resolver a equação homogênea \alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k=0 e verificar que a única solução é \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. Em \mathbb{R}^n isso pode ser feito montando uma matriz cujas colunas são os vetores e verificando que o determinante é não nulo (quando há n vetores) ou que a matriz tem posto máximo.

Passo 7

Exemplo detalhado e clássico (muito útil na prova): base canônica de \mathbb{R}^3.
Considere os vetores
e_1=(1,0,0),\qquad e_2=(0,1,0),\qquad e_3=(0,0,1).
Mostro que B=\{e_1,e_2,e_3\} é uma base de \mathbb{R}^3.
  1. Gera \mathbb{R}^3:
  • Qualquer vetor v=(a,b,c)\in\mathbb{R}^3 pode ser escrito como
v=a e_1 + b e_2 + c e_3,
portanto \text{span}(B)=\mathbb{R}^3.
  1. É linearmente independente:
  • Suponha
\alpha_1 e_1+\alpha_2 e_2+\alpha_3 e_3=0.
Isso é
(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(0,0,0),
logo \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0. Portanto são independentes.
Concluímos que B é base. Essa é a base padrão que quase sempre se usa como exemplo (e que facilita cálculo de coordenadas).

Passo 8

Outras observações úteis para a prova (curtas e práticas):
  • Se um espaço vetorial V tem uma base com n vetores, diz‑se que \dim V=n (a dimensão de V).
  • Diferentes bases de um mesmo espaço podem ter números diferentes de vetores? Não: todas as bases de um mesmo espaço vetorial (se finito dimensional) têm o mesmo número de vetores.
  • Exemplos adicionais rápidos: \{1,x,x^2\} é base do espaço dos polinômios de grau ≤2; \{(1,0),(0,1)\} é base de \mathbb{R}^2.

Resposta

Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto B=\{v_1,\dots,v_n\}\subset V que satisfaz duas condições: (i) é linearmente independente, ou seja, a única solução de \alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_n v_n=0 é \alpha_1=\cdots=\alpha_n=0; e (ii) gera V, isto é, \text{span}(B)=V. Exemplo: em \mathbb{R}^3 a base canônica \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.

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