Responda as questões.
( 5 pontos) Defina base de um espaço vetorial. Dê um exemplo.
( 5 pontos) Defina base de um espaço vetorial. Dê um exemplo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Definir o que é uma base de um espaço vetorial.
- Dar um exemplo de base.
Não há outros dados numéricos ou condicionantes no enunciado.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar o que é combinação linear, porque a definição de base depende disso.
Definição de combinação linear:
- Dado um conjunto de vetores
em um espaço vetorial , uma combinação linear desses vetores é qualquer vetor da forma
onde
são escalares (pertencem ao corpo dos escalares do espaço, por exemplo
ou
).
- O conjunto de todas as combinações lineares de
chama‑se o subespaço gerado por esses vetores, ou o seu span, denotado por .
Vou explicar de forma intuitiva: pensar em combinar vetores com coeficientes para “construir” outros vetores. Se a combinação linear de um conjunto produz todo o espaço
, dizemos que esse conjunto gera
.
Passo 3
Agora precisamos entender independência linear, outra peça chave.
Definição de independência linear:
- O conjunto
é linearmente independente se a única solução do sistema
é
.
- Intuição: nenhum dos vetores do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Se existirem coeficientes não todos nulos que façam a soma ser o vetor zero, então há dependência linear.
Exemplo rápido para fixar a ideia: em
, os vetores
e
são linearmente independentes porque não há escalares não nulos que combinem para dar
. Já
,
são dependentes porque
.
Passo 4
Agora a definição formal de base (a central da questão).
Definição de base:
- Um conjunto
é uma base de um espaço vetorial se e somente se: -
é linearmente independente. -
gera , isto é, .
-
Em palavras: uma base é um conjunto de vetores que, com combinações lineares, consegue formar qualquer vetor de
, e que não tem redundância (nenhum vetor da base é combinação linear dos outros).
Passo 5
Uma propriedade importante que costuma cair na prova: coordenadas únicas.
Teorema (unicidade das coordenadas):
- Se
é uma base de , então cada vetor pode ser escrito de forma única como
Prova curta e didática:
- Sabemos que existe pelo fato de
gerar . - Para ver a unicidade, suponha que
Subtraindo as duas expressões:
Como
é linearmente independente, os coeficientes devem ser todos zero, então
para cada
. Logo
— única escrita possível. Isso é muito útil na prova porque permite falar em “coordenadas” de um vetor em relação a uma base.
Passo 6
Como checar na prática se um conjunto é base (método para prova):
- Mostrar que gera
: pegar um vetor genérico de (por exemplo em ) e expressá‑lo como combinação linear dos vetores do conjunto, resolvendo para os coeficientes. - Mostrar que é linearmente independente: resolver a equação homogênea
e verificar que a única solução é . Em isso pode ser feito montando uma matriz cujas colunas são os vetores e verificando que o determinante é não nulo (quando há vetores) ou que a matriz tem posto máximo.
Passo 7
Exemplo detalhado e clássico (muito útil na prova): base canônica de
.
Considere os vetores
Mostro que
é uma base de
.
- Gera
:
- Qualquer vetor
pode ser escrito como
portanto
.
- É linearmente independente:
- Suponha
Isso é
logo
. Portanto são independentes.
Concluímos que
é base. Essa é a base padrão que quase sempre se usa como exemplo (e que facilita cálculo de coordenadas).
Passo 8
Outras observações úteis para a prova (curtas e práticas):
- Se um espaço vetorial
tem uma base com vetores, diz‑se que (a dimensão de ). - Diferentes bases de um mesmo espaço podem ter números diferentes de vetores? Não: todas as bases de um mesmo espaço vetorial (se finito dimensional) têm o mesmo número de vetores.
- Exemplos adicionais rápidos:
é base do espaço dos polinômios de grau ≤2; é base de .
Resposta
Uma base de um espaço vetorial
é um conjunto
que satisfaz duas condições: (i) é linearmente independente, ou seja, a única solução de
é
; e (ii) gera
, isto é,
. Exemplo: em
a base canônica
.