(10 pontos)
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1-\cos x}{x}\right)
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}-8 x}\right)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de dois limites. As expressões e os pontos de limite dados são:
\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1-\cos x}{x}\right)
\lim_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}-8x}\right)
Listando as informações relevantes: para o primeiro limite a variável x tende a 0 pela direita; para o segundo, x tende a +\infty. Não há mais informações externas.

Passo 2

Vamos começar pelo primeiro limite. Uma identidade trigonométrica útil que reduz ordens de grandeza é a fórmula do cosseno de ângulo duplo. A identidade é:
\cos(2u)=1-2\sin^{2}u.
Se nessa identidade colocarmos 2u=x, isto é u=\dfrac{x}{2}, obtemos:
1-\cos x = 2\sin^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right).
Isto transforma a expressão original em algo com \sin, que podemos manipular usando o limite fundamental \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1.

Passo 3

Substituindo 1-\cos x pela identidade no numerador da fração, temos:
\frac{1-\cos x}{x}=\frac{2\sin^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right)}{x}.
Agora vamos reescrever essa fração de forma a aparecer o quociente \dfrac{\sin t}{t}. Escrevemos:
\frac{2\sin^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right)}{x} =2\left(\frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}}\right)^{2}\cdot\frac{\left(\frac{x}{2}\right)^{2}}{x}.

Passo 4

Calculemos a última parte algébrica:
\frac{\left(\frac{x}{2}\right)^{2}}{x}=\frac{x^{2}}{4}\cdot\frac{1}{x}=\frac{x}{4}.
Substituindo na expressão do Passo 3:
\frac{1-\cos x}{x}=\;2\left(\frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}}\right)^{2}\cdot\frac{x}{4} =\frac{1}{2}\left(\frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}}\right)^{2}x.

Passo 5

Agora passage para o limite: quando x\to 0^{+} tem-se \dfrac{x}{2}\to 0, e sabemos o limite fundamental
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Logo
\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1-\cos x}{x}\right) =\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{2}\left(\frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}}\right)^{2}x =\frac{1}{2}\cdot 1^{2}\cdot 0=0.
Portanto o primeiro limite vale 0. (Intuição: 1-\cos x é da ordem de x^{2} quando x é pequeno, então dividido por x dá algo da ordem de x, que tende a zero.)

Passo 6

Agora o segundo limite. Observamos a forma:
x-\sqrt{x^{2}-8x}
Quando x\to +\infty isso é do tipo \infty-\infty, uma indeterminação. Uma técnica padrão para esse tipo é multiplicar por uma expressão conjugada para eliminar a diferença entre termos grandes. O conjugado de x-\sqrt{x^{2}-8x} é x+\sqrt{x^{2}-8x}.

Passo 7

Multiplicamos numerador e denominador por esse conjugado (ou seja, escrevemos a expressão equivalente):
x-\sqrt{x^{2}-8x} =\frac{\left(x-\sqrt{x^{2}-8x}\right)\left(x+\sqrt{x^{2}-8x}\right)}{x+\sqrt{x^{2}-8x}}.
No numerador fazemos a diferença de quadrados:
\left(x-\sqrt{x^{2}-8x}\right)\left(x+\sqrt{x^{2}-8x}\right) = x^{2} - \left(x^{2}-8x\right) = 8x.
Portanto a expressão fica
x-\sqrt{x^{2}-8x}=\frac{8x}{\,x+\sqrt{x^{2}-8x}\,}.

Passo 8

Para simplificar a passagem ao limite quando x\to +\infty, fatoramos x dentro da raiz (observe que para x>0 temos \sqrt{x^{2}}=x, então é válido fatorar x fora da raiz):
\sqrt{x^{2}-8x}=x\sqrt{1-\frac{8}{x}}.
Substituindo na expressão obtida:
\frac{8x}{x+\sqrt{x^{2}-8x}}=\frac{8x}{x+x\sqrt{1-\frac{8}{x}}} =\frac{8x}{x\left(1+\sqrt{1-\frac{8}{x}}\right)} =\frac{8}{1+\sqrt{1-\frac{8}{x}}}.

Passo 9

Agora fazemos o limite x\to +\infty. Como \dfrac{8}{x}\to 0 quando x\to +\infty, temos \sqrt{1-\dfrac{8}{x}}\to \sqrt{1}=1. Então
\lim_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}-8x}\right) =\lim_{x\to +\infty}\frac{8}{1+\sqrt{1-\frac{8}{x}}} =\frac{8}{1+1}=\frac{8}{2}=4.
Assim o segundo limite vale 4.

Resposta

\,0
\,4

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