(10 pontos)
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de dois limites. As expressões e os pontos de limite dados são:
Listando as informações relevantes: para o primeiro limite a variável
tende a
pela direita; para o segundo,
tende a
. Não há mais informações externas.
Passo 2
Vamos começar pelo primeiro limite. Uma identidade trigonométrica útil que reduz ordens de grandeza é a fórmula do cosseno de ângulo duplo. A identidade é:
Se nessa identidade colocarmos
, isto é
, obtemos:
Isto transforma a expressão original em algo com
, que podemos manipular usando o limite fundamental
.
Passo 3
Substituindo
pela identidade no numerador da fração, temos:
Agora vamos reescrever essa fração de forma a aparecer o quociente
. Escrevemos:
Passo 4
Calculemos a última parte algébrica:
Substituindo na expressão do Passo 3:
Passo 5
Agora passage para o limite: quando
tem-se
, e sabemos o limite fundamental
Logo
Portanto o primeiro limite vale
. (Intuição:
é da ordem de
quando
é pequeno, então dividido por
dá algo da ordem de
, que tende a zero.)
Passo 6
Agora o segundo limite. Observamos a forma:
Quando
isso é do tipo
, uma indeterminação. Uma técnica padrão para esse tipo é multiplicar por uma expressão conjugada para eliminar a diferença entre termos grandes. O conjugado de
é
.
Passo 7
Multiplicamos numerador e denominador por esse conjugado (ou seja, escrevemos a expressão equivalente):
No numerador fazemos a diferença de quadrados:
Portanto a expressão fica
Passo 8
Para simplificar a passagem ao limite quando
, fatoramos
dentro da raiz (observe que para
temos
, então é válido fatorar
fora da raiz):
Substituindo na expressão obtida:
Passo 9
Agora fazemos o limite
. Como
quando
, temos
. Então
Assim o segundo limite vale
.