(10 pontos) Uma partícula executa um movimento circular uniforme de raio
e velocidade angular
. As funções posição
e
desta partícula se escrevem:
Mostre que
é constante para o movimento circular uniforme.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que uma partícula faz movimento circular uniforme de raio
e velocidade angular
, com
O conteúdo aqui é derivada de funções e norma de vetor. Para mostrar que
é constante, a gente vai precisar:
- Derivar
e pra encontrar as componentes da velocidade. - Usar a definição de norma de um vetor no plano:
. - Aplicar a identidade trigonométrica
.
Passo 2
Vamos achar as componentes da velocidade:
Passo 3
Agora escrevemos o vetor velocidade:
E a norma dele é
Passo 4
Dentro da raiz fica
Mas a famosa identidade trig é
Logo
Como
e
são constantes do movimento,
também é constante.