(10 pontos) Uma partícula executa um movimento circular uniforme de raio R e velocidade angular omega. As funções posição x(t) e y(t) desta partícula se escrevem:
l x(t)=R cos (omega t+theta0) y(t)=R sin (omega t+theta0)
Mostre que |v(t)| é constante para o movimento circular uniforme.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que uma partícula faz movimento circular uniforme de raio x(t)=Rcosl(omega t+theta0r) y(t)=Rsinl(omega t+theta0r) e velocidade angular , com
O conteúdo aqui é derivada de funções e norma de vetor. Para mostrar que é constante, a gente vai precisar:
  1. Derivar e pra encontrar as componentes da velocidade.
  2. Usar a definição de norma de um vetor no plano: .
  3. Aplicar a identidade trigonométrica .

Passo 2

Vamos achar as componentes da velocidade:
vx(t)=dxdt =ddtl[Rcos(omega t+theta0)r] =-R,omegasin(omega t+theta0),
vy(t)=dydt =ddtl[Rsin(omega t+theta0)r] =R,omegacos(omega t+theta0)

Passo 3

Agora escrevemos o vetor velocidade:
vec v(t)=l(vx(t),,vy(t)r) =l(-Romegasin(omega t+theta0),;Romegacos(omega t+theta0)r)
E a norma dele é
|vec v(t)| =raizl(vx(t)r)^2+l(vy(t)r)^2 =raizl(-Romegasin(omega t+theta0)r)^2 +l(Romegacos(omega t+theta0)r)^2

Passo 4

Dentro da raiz fica
(Romega)^2l[sin^2(omega t+theta0)+cos^2(omega t+theta0)r]
Mas a famosa identidade trig é
sin^2u+cos^2u=1
Logo
|vec v(t)| =raiz(Romega)^2cdot1 =|Romega| =R|omega|
Como e são constantes do movimento, também é constante.

Resposta

boxed|vec v(t)|=R,|omega|(constante)

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