(10 pontos) Prove que se lim n infty raiz[n]an=14, então o raio de convergência da série sumn=1^infty an x^n é 4 .

Passo 1

Resumo do enunciado: Queremos provar que, se , então o raio de convergência da série é 4. Vamos usar o Teste da Raiz para séries de potências para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, lembramos que o raio de convergência 1R = limsupn to infty raiz[n]|an| de uma série de potências limn to infty raiz[n]an = 14 pode ser encontrado usando o Teste da Raiz, que nos diz que
No nosso caso, sabemos que

Passo 3

Como o limite existe e é igual a 1R = 14 , podemos substituir na fórmula do raio de convergência:

Passo 4

Resolvendo para R = 4 , simplesmente invertendo os dois lados da equação:

Resposta

O raio de convergência da série é 4.

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