(10 pontos) Prove que se
, então o raio de convergência da série
é 4 .
Passo 1
Resumo do enunciado: Queremos provar que, se
, então o raio de convergência da série
é 4. Vamos usar o Teste da Raiz para séries de potências para encontrar o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, lembramos que o raio de convergência
de uma série de potências
pode ser encontrado usando o Teste da Raiz, que nos diz que
No nosso caso, sabemos que
Passo 3
Como o limite existe e é igual a
, podemos substituir na fórmula do raio de convergência:
Passo 4
Resolvendo para
, simplesmente invertendo os dois lados da equação:
Resposta
O raio de convergência da série
é 4.