(10 pontos) Encontre uma série de potências para
1/(1-9 x)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma série de potências para a função . Esse tipo de problema faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente no estudo de séries de potências e séries geométricas. Para resolver, vamos precisar entender como transformar a expressão dada em uma série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da série geométrica. A série geométrica é dada por:
Essa série vale quando o valor absoluto de é menor que 1, ou seja, .

Passo 3

Observando a função que queremos expandir, , podemos compará-la com a fórmula da série geométrica. Aqui, percebemos que . Portanto, podemos substituir por na fórmula da série geométrica.

Passo 4

Substituindo na série geométrica, temos:
Simplificando, a série fica:

Resposta

A série de potências para é:
Essa série converge para .

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