(10%) Questão 9. Um conjunto A é dito ser enumerável quando existe uma bijeção f: \mathbb{N} \rightarrow A; nesse caso, seus elementos podem ser listados como f(1), f(2), f(3), \ldots.
Mostre que \mathbb{Z} é enumerável.

Passo 1

O enunciado dá a definição: um conjunto A é enumerável quando existe uma bijeção f: \mathbb{N}\to A. Pede para mostrar que \mathbb{Z} é enumerável.
Informações relevantes do enunciado:
  • Domínio disponível para a bijeção: \mathbb{N} (lista f(1),f(2),\ldots).
  • Conjunto alvo: \mathbb{Z} (inteiros positivos, negativos e zero).
    O que exatamente é pedido: construir (e provar) uma bijeção f:\mathbb{N}\to\mathbb{Z}, i.e., uma função bem definida que seja injetiva e sobrejetiva.

Passo 2

O que é preciso mostrar na prática (reminder didático, passo a passo):
  • Bijeção significa que a função é simultaneamente injetiva e sobrejetiva.
    • Definição de injetiva: f é injetiva se, para quaisquer n,m\in\mathbb{N}, f(n)=f(m) implica n=m.
    • Definição de sobrejetiva: f é sobrejetiva se, para todo z\in\mathbb{Z}, existe n\in\mathbb{N} tal que f(n)=z.
  • Estratégia prática comum: listar os inteiros em uma sequência que passe por todos eles sem repetir; por exemplo, 0,1,-1,2,-2,3,-3,\dots. Essa lista sugere uma fórmula sistemática para f.

Passo 3

Propondo a função explícita (essa é a construção da bijeção):
Defina f:\mathbb{N}\to\mathbb{Z} por
f(1)=0,
e, para todo k\in\mathbb{N} com k\ge1,
f(2k)=k, \qquad f(2k+1)=-k.
Interpretação concreta: f lista os inteiros na ordem 0,1,-1,2,-2,3,-3,\ldots. Aqui 2k envia k positivo e 2k+1 envia -k.

Passo 4

Mostrar que f é sobrejetiva (cobre todos os inteiros):
  • Seja z\in\mathbb{Z}. Três casos:
    1. Se z=0, então f(1)=0.
    2. Se z>0, escreva z=k com k\in\mathbb{N}. Então f(2k)=k=z.
    3. Se z<0, escreva z=-k com k\in\mathbb{N}. Então f(2k+1)=-k=z.
  • Em cada caso existe um n\in\mathbb{N} (explicitamente n=1, n=2k ou n=2k+1) com f(n)=z. Logo f é sobrejetiva.

Passo 5

Mostrar que f é injetiva (não repete valores para índices distintos):
Uma maneira simples e organizada é construir a inversa explícita g:\mathbb{Z}\to\mathbb{N} e verificar que g é função inversa de f. Defina
g(0)=1,\qquad g(k)=2k\\ \text{para }k>0,\qquad g(-k)=2k+1\\ \text{para }k>0.
Verificações rápidas:
  • Para todo n\in\mathbb{N} com n=1, tem-se g(f(1))=g(0)=1=n.
  • Para n\ge2, escreva n como 2k ou 2k+1. Se n=2k então f(n)=k e g(f(n))=g(k)=2k=n. Se n=2k+1 então f(n)=-k e g(f(n))=g(-k)=2k+1=n.
    Portanto g\circ f é a identidade em \mathbb{N}, o que implica que f tem inversa à esquerda e, em particular, é injetiva. (Como já mostramos sobrejetividade, ter inversa à esquerda é suficiente para concluir bijetividade; aqui temos inversa de ambos os lados.)

Passo 6

Conclusão final do argumento:
  • Construímos f explicitamente e mostramos que para todo z\in\mathbb{Z} existe n\in\mathbb{N} com f(n)=z (sobrejetiva).
  • Construímos g e verificamos g(f(n))=n para todo n\in\mathbb{N} (logo f é injetiva e g é a inversa de f).
    Portanto f é bijeção entre \mathbb{N} e \mathbb{Z}. Assim \mathbb{Z} é enumerável.

Resposta

A bijeção f:\mathbb{N}\to\mathbb{Z} é
f(1)=0,\qquad f(2k)=k,\qquad f(2k+1)=-k\quad (k\ge1).

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