(10%) Questão 8. Seja \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} a sequência definida recursivamente por
a_{0}=1 \text { e } a_{n+1}=\frac{1}{1+a_{n}} .
Mostre que:
(a) os intervalos \left[a_{2 n}, a_{2 n+1}\right] são encaixados;
(b) a_{2 n+1}-a_{2 n} \rightarrow 0;
(c) \bigcap_{n \in \mathbb{N}}\left[a_{2 n}, a_{2 n+1}\right]=\{\varphi\}, onde \varphi é a razão áurea.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} definida por
a_{0}=1,\qquad a_{n+1}=\frac{1}{1+a_{n}}\quad\text{para todo }n\ge0.
O que pede mostrar, em três partes, é:
(a) que os intervalos \left[a_{2n},a_{2n+1}\right] são encaixados (ou seja, cada um contém o próximo);
(b) que a_{2n+1}-a_{2n}\rightarrow 0 quando n\to\infty;
(c) que \bigcap_{n\in\mathbb{N}}\left[a_{2n},a_{2n+1}\right]=\{\varphi\}, onde \varphi é a razão áurea indicada pelo enunciado (vamos achar explicitamente esse \varphi).\n
Vou trabalhar com essas informações passo a passo, mostrando propriedades da sequência necessárias para cada item.

Passo 2

Primeiro mostrar que todos os termos ficam no intervalo (0,1]. Isso é útil para controlar derivadas e monotonicidade depois.
Base: a_{0}=1\in(0,1].
Passo indutivo: suponha a_{n}\in(0,1]. Então
a_{n+1}=\frac{1}{1+a_{n}}.
Como a_{n}>0 temos 1+a_{n}>1 e então 0<a_{n+1}<1. Logo a_{n+1}\in(0,1)\subset(0,1]. Assim por indução todos os a_{n} satisfazem
0<a_{n}\le 1\qquad\text{para todo }n\ge0.

Passo 3

Defino a função f\colon(0,1]\to(0,1] por
f(x)=\frac{1}{1+x}.
Calculo a derivada para entender monotonicidade:
f'(x)=-\frac{1}{(1+x)^{2}}<0\quad\text{para todo }x\in(0,1].
Isto mostra que f é estritamente decrescente no intervalo (0,1].
Agora considero a composição de duas iterações
g(x)=f(f(x))=\frac{1}{1+\frac{1}{1+x}}=\frac{1+x}{2+x}.
Note que g é a composição de duas funções decrescentes, logo g é crescente; a derivada de g é
g'(x)=\frac{(2+x)-(1+x)}{(2+x)^{2}}=\frac{1}{(2+x)^{2}}>0,
confirmando que g é estritamente crescente em (0,1].

Passo 4

Vou comparar g(x) com x. Calculo
g(x)-x=\frac{1+x}{2+x}-x=\frac{1-x-x^{2}}{2+x}.
O sinal de g(x)-x é o sinal do numerador 1-x-x^{2}. A equação 1-x-x^{2}=0 tem como solução positiva
\varphi=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0,618\ldots
(esta quantidade é a solução positiva de \;x=\dfrac{1}{1+x}; é a conjugada da razão áurea usual, frequentemente escrita como 1/\Phi, mas aqui chamaremos de \varphi conforme o enunciado).
Observações sobre o sinal:
  • Se x>\varphi então 1-x-x^{2}<0 e assim g(x)<x.
  • Se x<\varphi então 1-x-x^{2}>0 e assim g(x)>x.
  • Se x=\varphi então g(x)=x.

Passo 5

Uso as conclusões anteriores para analisar as subsequências pares e ímpares.
  • Para os termos pares: a_{2n+2}=g(a_{2n}). Começando com a_{0}=1>\varphi e usando que g é crescente e que para x>\varphi vale g(x)<x, segue por indução que
a_{0}>a_{2}>a_{4}>\cdots\quad\text{e que }\;a_{2n}>\varphi\text{ para todo }n.
Portanto \left(a_{2n}\right) é uma sequência monótona decrescente e limitada inferiormente por \varphi.
  • Para os termos ímpares: a_{2n+3}=g(a_{2n+1}). Começando com a_{1}=\tfrac12<\varphi e usando que, para x<\varphi, g(x)>x, segue por indução que
a_{1}<a_{3}<a_{5}<\cdots\quad\text{e que }\;a_{2n+1}<\varphi\text{ para todo }n.
Portanto \left(a_{2n+1}\right) é monótona crescente e limitada superiormente por \varphi.
Dessas duas propriedades obtemos também que, para todo n,
a_{2n+1}\le a_{2n}\quad\text{e}\quad a_{2n+1}\le a_{2n+2}\le a_{2n}.

Passo 6

Agora mostro que os intervalos são encaixados (parte (a)). Como vimos, para todo n vale a_{2n+1}\le a_{2n} (ou seja, o menor é o termo ímpar e o maior é o termo par anterior). Tomando o intervalo com os extremos a_{2n} e a_{2n+1}, é natural considerar o intervalo na ordem crescente como [a_{2n+1},a_{2n}]. Para provar encaixe (aninhamento) mostro que
[a_{2n+1},a_{2n}]\supset [a_{2n+3},a_{2n+2}].
Isto é verdade porque, pela monotonicidade das subsequências,
a_{2n+1}\le a_{2n+3}\quad\text{e}\quad a_{2n+2}\le a_{2n},
então qualquer ponto entre a_{2n+3} e a_{2n+2} também está entre a_{2n+1} e a_{2n}. Logo os intervalos \left[a_{2n},a_{2n+1}\right] (interpretados no sentido usual com menor primeiro, i.e. [a_{2n+1},a_{2n}]) são realmente encaixados: cada intervalo contém o seguinte. Isso mostra (a).

Passo 7

Prova de (b): as subsequências monotônicas e limitadas convergem (Teorema do Monotone Convergence — resultado elementar). Portanto existem limites finitos
L_{\text{par}}=\lim_{n\to\infty}a_{2n},\qquad L_{\text{ímpar}}=\lim_{n\to\infty}a_{2n+1}.í
Como g é contínua e a_{2n+2}=g(a_{2n}), tomando limite em ambos os lados obtemos
L_{\text{par}}=g(L_{\text{par}}).
Analogamente L_{\text{ímpar}}=g(L_{\text{ímpar}})íí. Portanto ambos os limites são pontos fixos de g. Mas a equação g(x)=x é equivalente a
\frac{1+x}{2+x}=x \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+x-1=0,
cuja única raiz positiva é \varphi=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}. Como tanto L_{\text{par}} quanto L_{\text{ímpar}}í estão em (0,1] eles devem coincidir com essa raiz positiva, portanto
L_{\text{par}}=L_{\text{ímpar}}=\varphi.í
Assim as duas subsequências convergem para o mesmo valor \varphi. Em particular
\lim_{n\to\infty}\bigl(a_{2n+1}-a_{2n}\bigr)=\varphi-\varphi=0,
o que prova (b).

Passo 8

Prova de (c): já estabeleci que os intervalos [a_{2n+1},a_{2n}] são encaixados e que os comprimentos dos intervalos são
\ell_{n}=a_{2n}-a_{2n+1}\ge0,
com \ell_{n}\to0 pela parte (b). Um fato padrão sobre famílias de intervalos fechados encaixados é: se [b_{n},c_{n}] é uma sequência de intervalos fechados encaixados com comprimento c_{n}-b_{n}\to 0, então a interseção \bigcap_{n}[b_{n},c_{n}] é um conjunto unitário contendo o limite comum dos extremos. Aplicando isso aos nossos intervalos, concluímos que
\bigcap_{n\in\mathbb{N}}[a_{2n},a_{2n+1}]=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}[a_{2n+1},a_{2n}]=\{\varphi\}.
Finalmente, resolvendo explicitamente a equação do ponto fixo,
\varphi=\frac{1}{1+\varphi}\quad\Longleftrightarrow\quad \varphi^{2}+\varphi-1=0,
obtemos
\varphi=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.

Resposta

(a) Os intervalos \left[a_{2n},a_{2n+1}\right] são encaixados (interpretando o intervalo na ordem crescente como [a_{2n+1},a_{2n}], cada intervalo contém o seguinte).
(b) \displaystyle a_{2n+1}-a_{2n}\rightarrow 0.
(c) \displaystyle \bigcap_{n\in\mathbb{N}}\left[a_{2n},a_{2n+1}\right]=\{\varphi\}, com \displaystyle \varphi=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.

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