(10%) Questão 8. Seja
a sequência definida recursivamente por
Mostre que:
(a) os intervalos
são encaixados;
(b)
;
(c)
, onde
é a razão áurea.
(a) os intervalos
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida por
O que pede mostrar, em três partes, é:
(a) que os intervalos são encaixados (ou seja, cada um contém o próximo);
(b) que quando
;
(c) que , onde
é a razão áurea indicada pelo enunciado (vamos achar explicitamente esse
).\n
Vou trabalhar com essas informações passo a passo, mostrando propriedades da sequência necessárias para cada item.
(a) que os intervalos
(b) que
(c) que
Vou trabalhar com essas informações passo a passo, mostrando propriedades da sequência necessárias para cada item.
Passo 2
Primeiro mostrar que todos os termos ficam no intervalo
. Isso é útil para controlar derivadas e monotonicidade depois.
Base:
.
Passo indutivo: suponha
. Então
Como
temos
e então
. Logo
. Assim por indução todos os
satisfazem
Passo 3
Defino a função
por
Calculo a derivada para entender monotonicidade:
Isto mostra que
é estritamente decrescente no intervalo
.
Agora considero a composição de duas iterações
Note que
é a composição de duas funções decrescentes, logo
é crescente; a derivada de
é
confirmando que
é estritamente crescente em
.
Passo 4
Vou comparar
com
. Calculo
O sinal de
é o sinal do numerador
. A equação
tem como solução positiva
(esta quantidade é a solução positiva de
; é a conjugada da razão áurea usual, frequentemente escrita como
, mas aqui chamaremos de
conforme o enunciado).
Observações sobre o sinal:
- Se
então e assim . - Se
então e assim . - Se
então .
Passo 5
Uso as conclusões anteriores para analisar as subsequências pares e ímpares.
- Para os termos pares:
. Começando com e usando que é crescente e que para vale , segue por indução que
Portanto
é uma sequência monótona decrescente e limitada inferiormente por
.
- Para os termos ímpares:
. Começando com e usando que, para , , segue por indução que
Portanto
é monótona crescente e limitada superiormente por
.
Dessas duas propriedades obtemos também que, para todo
,
Passo 6
Agora mostro que os intervalos são encaixados (parte (a)). Como vimos, para todo
vale
(ou seja, o menor é o termo ímpar e o maior é o termo par anterior). Tomando o intervalo com os extremos
e
, é natural considerar o intervalo na ordem crescente como
. Para provar encaixe (aninhamento) mostro que
Isto é verdade porque, pela monotonicidade das subsequências,
então qualquer ponto entre
e
também está entre
e
. Logo os intervalos
(interpretados no sentido usual com menor primeiro, i.e.
) são realmente encaixados: cada intervalo contém o seguinte. Isso mostra (a).
Passo 7
Prova de (b): as subsequências monotônicas e limitadas convergem (Teorema do Monotone Convergence — resultado elementar). Portanto existem limites finitos
Como
é contínua e
, tomando limite em ambos os lados obtemos
Analogamente
. Portanto ambos os limites são pontos fixos de
. Mas a equação
é equivalente a
cuja única raiz positiva é
. Como tanto
quanto
estão em
eles devem coincidir com essa raiz positiva, portanto
Assim as duas subsequências convergem para o mesmo valor
. Em particular
o que prova (b).
Passo 8
Prova de (c): já estabeleci que os intervalos
são encaixados e que os comprimentos dos intervalos são
com
pela parte (b). Um fato padrão sobre famílias de intervalos fechados encaixados é: se
é uma sequência de intervalos fechados encaixados com comprimento
, então a interseção
é um conjunto unitário contendo o limite comum dos extremos. Aplicando isso aos nossos intervalos, concluímos que
Finalmente, resolvendo explicitamente a equação do ponto fixo,
obtemos
Resposta
(a) Os intervalos
são encaixados (interpretando o intervalo na ordem crescente como
, cada intervalo contém o seguinte).
(b) .
(c) , com
.
(b)
(c)