10.9 Sabe-se que a cinética de determinada transformação obedece à equação de Avrami e que o valor de k é de 2,6 \times 10^{-6} (para o tempo em minutos). Se a fração recristalizada é de 0,65 depois de 120 minutos, determine a taxa dessa transformação.

Passo 1

O enunciado trata da cinética segundo a equação de Avrami, que descreve a fração transformada X em função do tempo t por
X = 1 - \exp\bigl(-k\,t^{n}\bigr),
onde k é a constante de velocidade e n é o expoente (ou “taxa” de crescimento). Sabemos que k = 2,6\times10^{-6} (min ^{-n}), que após t = 120 min a fração recristalizada é X=0,65, e queremos determinar n.

Passo 2

A partir de
X = 1 - \exp\bigl(-k\,t^{n}\bigr)
isolamos o exponencial:
\exp\bigl(-k\,t^{n}\bigr) = 1 - X.
Aplicando o logaritmo natural e reorganizando, obtemos
-\,k\,t^{n} = \ln\bigl(1 - X\bigr) \quad\Longrightarrow\quad t^{n} = -\frac{\ln\bigl(1 - X\bigr)}{k}.

Passo 3

Para isolar n, tomamos o ln em ambos os lados de t^{n}:
\ln\bigl(t^{n}\bigr) = \ln\!\bigl(-\tfrac{\ln(1 - X)}{k}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad n\,\ln t = \ln\!\bigl(-\tfrac{\ln(1 - X)}{k}\bigr)
e daí
n = \frac{\ln\!\bigl(-\ln(1 - X)\bigr) - \ln k}{\ln t} = \frac{\ln\!\bigl(-\ln(1 - X)/k\bigr)}{\ln t}.

Passo 4

Agora substituímos X=0,65, t=120 e k=2{,}6\times10^{-6}:
1 - X = 0{,}35, \quad -\ln(1 - X) = -\ln(0{,}35)\approx 1{,}0498,
-\ln(1 - X)/k \approx \frac{1{,}0498}{2{,}6\times10^{-6}} \approx 4{,}0385\times10^{5}, \quad \ln\bigl(4{,}0385\times10^{5}\bigr)\approx 12{,}909.
Além disso
\ln t = \ln(120)\approx 4{,}787.

Passo 5

Finalmente
n = \frac{12{,}909}{4{,}787}\approx 2{,}70.

Resposta

O expoente (taxa) da transformação é aproximadamente n = 2{,}7.

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