10.(UFJF). Um cientista esta usando um Gas Ideal monoatömıco como substância de trabalho de uma máquina térmica com um ciclo específico que é necessário para o seu trabalho. Ele constrói o seu equipamento de modo a realizar o seguinte ciclo com 0,1 \mathrm{~mol} de gás. Inicialmente, o gás encontra-se com um volume de 2,49 \mathrm{~L}, e a pressão de 1,0 \times 10^{5} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}. Iniciando o ciclo, esse gás expande-se à pressão constante de modo a alcançar o volume de 4,98 \mathrm{~L}. Posteriormente, a temperatura desse gás diminui a volume constante, reduzindo a sua pressão para 2,5 \times 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}. Em seguida, o gás é comprimido à pressão constante, retornando ao volume inicial. Finalmente, o gás é aquecido a volume constante, retornando à sua temperatura inicial. Caso necessário, utilize Eint = \left(\frac{3}{2}\right) n R T e R=8,3 \mathrm{~J} /(\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K}). Com essas informações, determine a quantidade de calor recebida pelo gás na parte do ciclo na qual ocorre o aquecimento isovolumétrico.
a) Q=249 \mathrm{~J}
b) Q=3249 \mathrm{~J}
c) Q=1249 J
d) Q=149 \mathrm{~J}
e) Q=349 \mathrm{~J}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados dados no enunciado:
    • Quantidade de gás: n=0{,}1\\ \mathrm{mol}.
    • Volume inicial: V_1=2{,}49\\ \mathrm{L}=2{,}49\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3.
    • Pressão inicial: P_1=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{N/m}^2.
    • O gás expande isobáricamente até V_2=4{,}98\\ \mathrm{L} (não precisamos desse volume para a parte final).
    • Depois há um resfriamento isocórico reduzindo a pressão até P_3=2{,}5\times10^{4}\\ \mathrm{N/m}^2 (esse é o valor da pressão antes da compressão isobárica).
    • Em seguida faz-se compressão isobárica a P_3 retornando ao volume inicial V_1. Assim, no início do aquecimento isocórico final o estado é (P_3,V_1).
    • Finalmente há um aquecimento isocórico que leva o gás de (P_3,V_1) de volta ao estado inicial (P_1,V_1).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a quantidade de calor recebida pelo gás na etapa de aquecimento isovolumétrico (a etapa final, onde o volume é V_1 e a pressão sobe de P_3 para P_1).

Passo 2

Relembrando as relações e ideias que vamos usar (com explicação didática):
  • Lei dos gases ideais: em qualquer estado do gás vale
PV=nRT,
onde P é a pressão, V o volume, n a quantidade de mols, R a constante dos gases e T a temperatura absoluta em kelvin. Essa equação nos permite calcular temperaturas a partir de P e V.
  • Energia interna do gás monoatômico: para um gás ideal monoatômico a energia interna é
E_{\text{int}}=\tfrac{3}{2}nRT.
Aqui E_{\text{int}} depende só da temperatura: se a temperatura muda, a energia interna muda.
  • Aquecimento isocórico (volume constante): quando o volume é constante o trabalho realizado pela força de pressão é zero, W=0. Pela primeira lei da termodinâmica,
\Delta E_{\text{int}} = Q - W.
Com W=0 segue que o calor Q trocado na transformação isocórica é igual à variação da energia interna:
Q=\Delta E_{\text{int}}=\tfrac{3}{2}nR\Delta T,
onde \Delta T=T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}} na etapa isocórica.
  • Observação útil: podemos calcular \Delta T a partir de P e V usando a lei dos gases ideais:
\Delta T=\frac{P_{\text{final}}V - P_{\text{inicial}}V}{nR}=\frac{V(P_{\text{final}}-P_{\text{inicial}})}{nR}.
Substituindo isso em Q o fator nR cancela:
Q=\tfrac{3}{2}nR\cdot\frac{V(P_{\text{final}}-P_{\text{inicial}})}{nR}=\tfrac{3}{2}V\bigl(P_{\text{final}}-P_{\text{inicial}}\bigr).
Ou seja, para um aquecimento isocórico entre dois estados com mesmo volume V,
\boxed{Q=\tfrac{3}{2}V\,(P_{\text{final}}-P_{\text{inicial}}).}
Isso é prático: não precisamos calcular T explicitamente nem usar n e R se conhecemos os dois P e V.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
  • Na etapa de aquecimento isocórico o volume é V_1, a pressão inicial dessa etapa é P_3=2{,}5\times10^{4}\\ \mathrm{Pa} e a pressão final é P_1=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}. Portanto
Q=\tfrac{3}{2}V_1\bigl(P_1-P_3\bigr).
  • Converter e colocar números (tudo em unidades do SI):
    • V_1=2{,}49\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3.
    • P_1-P_3=1{,}0\times10^{5}-2{,}5\times10^{4}=7{,}5\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Calcule passo a passo:
  • Primeiro o produto V_1(P_1-P_3):
V_1\bigl(P_1-P_3\bigr)=2{,}49\times10^{-3}\times7{,}5\times10^{4}=186{,}75\\ \mathrm{J}.
(lembrando que \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^3=\mathrm{J}.)
  • Agora multiplica por \tfrac{3}{2}:
Q=\tfrac{3}{2}\times186{,}75=280{,}125\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Interpretando o resultado e arredondamento: o calor recebido pelo gás na etapa isovolumétrica final é
Q\approx280{,}1\\ \mathrm{J}.
Este valor é positivo, ou seja, o gás recebeu calor (a temperatura aumentou de 75\\ \mathrm{K} para 300\\ \mathrm{K}, se quiser verificar via T=PV/(nR)).

Resposta

Q=280{,}125\\ \mathrm{J}

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