- (UEM) Um sistema composto de 10 mols de gás ideal monoatômico, armazenado em um tubo cilíndrico provido de um êmbolo móvel, evolui de um estado A para um estado B passando pelos estados intermediários P e Q . Medidas do volume e da temperatura absoluta do gás nos estados
e B estão descritas no quadro a seguir. Suponha que o volume e a temperatura absoluta do gás em todos os outros estados intermediários entre A e B sigam o mesmo padrão de proporcionalidade observado no quadro. Assinale o que for correto sobre o processo AB.
Estado
160
1,0
240
1,5
400
2,5
560
3,5
Dado:
.
- O sistema recebe mais de 80 kJ de calor.
- O sistema realiza um trabalho maior que 30 kJ .
- Visto que se trata de uma expansão, a pressão inicial do gás é maior que a pressão final.
- O volume e a temperatura satisfazem a relação
- No estado B (em comparação com o estado A), a frequência de colisões dos átomos com a parede interna do êmbolo móvel é menor.
Soma: ( )
a) 9
b) 12
c) 6
d) 3
e) 1
| Estado |
|
|
|
|
160 | 1,0 |
|
|
240 | 1,5 |
|
|
400 | 2,5 |
|
|
560 | 3,5 |
a) 9
b) 12
c) 6
d) 3
e) 1
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que nos pede.
Dados (retirados da tabela do enunciado):
- Estado A:
, . - Estado P:
, . - Estado Q:
, . - Estado B:
, . - Número de mols:
. - Constante dos gases:
.
O enunciado pede para verificar quais das afirmações 1) a 5) são corretas e, ao final, somar os números das afirmativas corretas.
As afirmações a analisar:
- O sistema recebe mais de
de calor. - O sistema realiza um trabalho maior que
. - Como é expansão, a pressão inicial é maior que a pressão final.
-
, com . - Em B (comparando com A), a frequência de colisões dos átomos com a parede do êmbolo é menor.
Passo 2
Verificar a proporcionalidade
pedida na afirmação 4.
Calculo de
em A e B (peguei
e
da tabela):
Os valores coincidem, e pelos dados intermediários
e
também teria a mesma razão (o enunciado diz que a proporcionalidade se mantém). Logo existe uma constante
tal que
Portanto a afirmação 4) é verdadeira.
Passo 3
Determinar se a pressão varia entre A e B (afirmação 3) usando a equação de estado do gás ideal.
Equação dos gases ideais:
onde
é a pressão,
o número de mols,
a constante dos gases,
a temperatura e
o volume.
Como
, substituindo:
ou seja,
é constante ao longo do processo (a dependência em
cancela). Então a pressão inicial e final são iguais. Portanto a afirmação 3) (“a pressão inicial do gás é maior que a pressão final”) é falsa.
Para termos o valor numérico da pressão (útil para calcular trabalho), uso os dados do estado A:
Passo 4
Calcular o trabalho realizado pelo gás no processo AB (afirmação 2).
Para um processo a pressão constante vale:
Substituindo os valores (usei
calculada no passo anterior):
Como
, a afirmação 2) é verdadeira.
(Aqui expliquei: trabalho em processo isobárico é área sob a curva
vs
, que é simplesmente retângulo
.)
Passo 5
Calcular a variação de energia interna e o calor trocado (afirmação 1).
Para um gás ideal monoatômico, a energia interna depende só da temperatura e vale
Explico: para um gás monoatômico cada átomo tem apenas energia cinética de translação, e a média por mol é
; multiplicando por
obtemos
.
Assim a variação de energia interna entre A e B é
Substituindo:
Pela primeira lei da termodinâmica:
Substituindo
e
:
Como
, a afirmação 1) é verdadeira.
Passo 6
Analisar a afirmação 5) sobre a frequência de colisões dos átomos com a parede do êmbolo (comparando B com A).
Usarei um resultado da teoria cinética dos gases: a taxa de colisões por unidade de área na parede (ou frequência proporcional) é dada por
onde
é a densidade numérica (número de moléculas por volume) e
é a velocidade média das partículas. Para um gás ideal
Então
Como
(número absoluto de átomos) é fixo e
, temos
Logo, se a temperatura aumenta (como de A para B) a taxa
diminui proporcionalmente a
. Portanto a frequência de colisões em B é menor do que em A. Assim a afirmação 5) é verdadeira.
Intuição simples: com
aumentando proporcionalmente a
, as partículas ficam mais espaçadas (menor densidade) mesmo que estejam mais rápidas; o efeito da diluição vence a maior velocidade, e o número de colisões por tempo cai.
Passo 7
Resumo das verdades/mentiras das afirmações (sem somar ainda):
-
- Verdadeira.
-
- Verdadeira.
-
- Falsa.
-
- Verdadeira.
-
- Verdadeira.
Agora somam-se os números das afirmativas verdadeiras:
.
Resposta
b) 12