1. (UEM) Um sistema composto de 10 mols de gás ideal monoatômico, armazenado em um tubo cilíndrico provido de um êmbolo móvel, evolui de um estado A para um estado B passando pelos estados intermediários P e Q . Medidas do volume e da temperatura absoluta do gás nos estados \mathrm{A}, \mathrm{P}, \mathrm{Q} e B estão descritas no quadro a seguir. Suponha que o volume e a temperatura absoluta do gás em todos os outros estados intermediários entre A e B sigam o mesmo padrão de proporcionalidade observado no quadro. Assinale o que for correto sobre o processo AB.
Estado \mathrm{T}(\mathrm{K}) \mathrm{V}\left(\mathrm{m}^{3}\right)
A 160 1,0
P 240 1,5
Q 400 2,5
B 560 3,5
Dado: \mathrm{R}=8,31 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} \cdot \mathrm{K}.
  1. O sistema recebe mais de 80 kJ de calor.
  2. O sistema realiza um trabalho maior que 30 kJ .
  3. Visto que se trata de uma expansão, a pressão inicial do gás é maior que a pressão final.
  4. O volume e a temperatura satisfazem a relação \mathrm{V}=\beta \mathrm{T}, \operatorname{com} b=\frac{1}{160} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{K}
  5. No estado B (em comparação com o estado A), a frequência de colisões dos átomos com a parede interna do êmbolo móvel é menor.
Soma: ( )
a) 9
b) 12
c) 6
d) 3
e) 1

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que nos pede.
Dados (retirados da tabela do enunciado):
  • Estado A: T_A=160\\ \text{K}, V_A=1{,}0\\ \text{m}^3.
  • Estado P: T_P=240\\ \text{K}, V_P=1{,}5\\ \text{m}^3.
  • Estado Q: T_Q=400\\ \text{K}, V_Q=2{,}5\\ \text{m}^3.
  • Estado B: T_B=560\\ \text{K}, V_B=3{,}5\\ \text{m}^3.
  • Número de mols: n=10.
  • Constante dos gases: R=8{,}31\\ \text{J}/\text{mol}\cdot\text{K}.
O enunciado pede para verificar quais das afirmações 1) a 5) são corretas e, ao final, somar os números das afirmativas corretas.
As afirmações a analisar:
  1. O sistema recebe mais de 80\\ \text{kJ} de calor.
  2. O sistema realiza um trabalho maior que 30\\ \text{kJ}.
  3. Como é expansão, a pressão inicial é maior que a pressão final.
  4. V=\beta T, com \beta=\dfrac{1}{160}\\ \text{m}^3/\text{K}.
  5. Em B (comparando com A), a frequência de colisões dos átomos com a parede do êmbolo é menor.

Passo 2

Verificar a proporcionalidade V=\beta T pedida na afirmação 4.
Calculo de V/T em A e B (peguei T e V da tabela):
\frac{V_A}{T_A}=\frac{1{,}0}{160}=0{,}00625\\ \text{m}^3/\text{K}, \qquad \frac{V_B}{T_B}=\frac{3{,}5}{560}=0{,}00625\\ \text{m}^3/\text{K}.
Os valores coincidem, e pelos dados intermediários P e Q também teria a mesma razão (o enunciado diz que a proporcionalidade se mantém). Logo existe uma constante \beta tal que
V=\beta T, \quad\text{com}\quad \beta=\frac{1{,}0}{160}=\frac{1}{160}\\ \text{m}^3/\text{K}.
Portanto a afirmação 4) é verdadeira.

Passo 3

Determinar se a pressão varia entre A e B (afirmação 3) usando a equação de estado do gás ideal.
Equação dos gases ideais:
P=\frac{nRT}{V},
onde P é a pressão, n o número de mols, R a constante dos gases, T a temperatura e V o volume.
Como V=\beta T, substituindo:
P=\frac{nRT}{\beta T}=\frac{nR}{\beta},
ou seja, P é constante ao longo do processo (a dependência em T cancela). Então a pressão inicial e final são iguais. Portanto a afirmação 3) (“a pressão inicial do gás é maior que a pressão final”) é falsa.
Para termos o valor numérico da pressão (útil para calcular trabalho), uso os dados do estado A:
P=\frac{nR T_A}{V_A}=\frac{10\cdot 8{,}31\cdot 160}{1{,}0}=13296\\ \text{Pa}.

Passo 4

Calcular o trabalho realizado pelo gás no processo AB (afirmação 2).
Para um processo a pressão constante vale:
W = P\Delta V = P(V_B-V_A).
Substituindo os valores (usei P calculada no passo anterior):
\Delta V=V_B-V_A=3{,}5-1{,}0=2{,}5\\ \text{m}^3,
W=13296\\ \text{Pa}\times 2{,}5\\ \text{m}^3 = 33240\\ \text{J}=33{,}24\\ \text{kJ}.
Como 33{,}24\\ \text{kJ}>30\\ \text{kJ}, a afirmação 2) é verdadeira.
(Aqui expliquei: trabalho em processo isobárico é área sob a curva P vs V, que é simplesmente retângulo P\Delta V.)

Passo 5

Calcular a variação de energia interna e o calor trocado (afirmação 1).
Para um gás ideal monoatômico, a energia interna depende só da temperatura e vale
U=\frac{3}{2}nRT.
Explico: para um gás monoatômico cada átomo tem apenas energia cinética de translação, e a média por mol é \tfrac{3}{2}RT; multiplicando por n obtemos U.
Assim a variação de energia interna entre A e B é
\Delta U=\frac{3}{2}nR(T_B-T_A).
Substituindo:
\Delta U=\frac{3}{2}\cdot 10\cdot 8{,}31\cdot(560-160) =15\cdot 8{,}31\cdot 400=49860\\ \text{J}=49{,}86\\ \text{kJ}.
Pela primeira lei da termodinâmica:
Q=\Delta U + W.
Substituindo \Delta U=49860\\ \text{J} e W=33240\\ \text{J}:
Q=49860+33240=83100\\ \text{J}=83{,}10\\ \text{kJ}.
Como 83{,}10\\ \text{kJ}>80\\ \text{kJ}, a afirmação 1) é verdadeira.

Passo 6

Analisar a afirmação 5) sobre a frequência de colisões dos átomos com a parede do êmbolo (comparando B com A).
Usarei um resultado da teoria cinética dos gases: a taxa de colisões por unidade de área na parede (ou frequência proporcional) é dada por
Z \propto n_{\text{num}}\bar{c},
onde n_{\text{num}}=\dfrac{N}{V} é a densidade numérica (número de moléculas por volume) e \bar{c} é a velocidade média das partículas. Para um gás ideal
\bar{c}\propto\sqrt{T}.
Então
Z \propto \frac{N}{V}\sqrt{T}.
Como N (número absoluto de átomos) é fixo e V=\beta T, temos
Z \propto \frac{1}{\beta T}\sqrt{T} \propto \frac{1}{\sqrt{T}}.
Logo, se a temperatura aumenta (como de A para B) a taxa Z diminui proporcionalmente a 1/\sqrt{T}. Portanto a frequência de colisões em B é menor do que em A. Assim a afirmação 5) é verdadeira.
Intuição simples: com V aumentando proporcionalmente a T, as partículas ficam mais espaçadas (menor densidade) mesmo que estejam mais rápidas; o efeito da diluição vence a maior velocidade, e o número de colisões por tempo cai.

Passo 7

Resumo das verdades/mentiras das afirmações (sem somar ainda):
    1. Verdadeira.
    1. Verdadeira.
    1. Falsa.
    1. Verdadeira.
    1. Verdadeira.
Agora somam-se os números das afirmativas verdadeiras: 1+2+4+5.

Resposta

b) 12

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