2.4) A 100 ohm resistor is connected to the secondary of an idea transformer with a turns ratio of 1:4 (primary to secondary). A 10 \mathrm{~V} \mathrm{rms}, 1-\mathrm{kHz} voltage source is connected to the primary. Calculate the primary current and the voltage across the 100 ohm resistor.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
  • Uma carga resistiva R_L = 100\\ \Omega está conectada ao secundário de um transformador ideal.
  • A relação de espiras (primary : secondary) é 1:4. Ou seja, N_p:N_s = 1:4.
  • Uma fonte de tensão senoidal de 10\\ \mathrm{V_{rms}}, 1\\ \text{kHz} está ligada ao primário.
  • O que se pede:
    1. Calcular a corrente no primário (valor eficaz / rms).
    2. Calcular a tensão sobre o resistor de 100\\ \Omega (valor eficaz / rms).

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais do transformador ideal (explicados de forma simples):
  • Definir a razão de espiras usando uma variável: \displaystyle a = \frac{N_p}{N_s}. Aqui N_p é o número de espiras do primário e N_s do secundário.
  • Relação tensão-espiras para transformador ideal: \frac{V_p}{V_s}=\frac{N_p}{N_s}=a.Isso significa que as tensões são proporcionais ao número de espiras.
  • Relação corrente-espiras (correntes inversamente proporcionais às espiras): \frac{I_p}{I_s}=\frac{N_s}{N_p}=\frac{1}{a}.Ou seja, se a tensão sobe no secundário (mais espiras), a corrente no secundário costuma ser menor que a do primário na mesma razão inversa.
  • Reflexão de impedância vista do primário (útil para calcular a corrente no primário diretamente): Z_{\text{in}} = a^2 Z_L,onde Z_L é a impedância conectada ao secundário e Z_{\text{in}} é a impedância “vista” pelo primário. Note que usei a=\dfrac{N_p}{N_s}, então se a<1 (passo-up de tensão) Z_{\text{in}} fica menor que Z_L.
  • Observação sobre rms e frequência: o valor rms fornecido é o que usamos diretamente nas equações de corrente e tensão. A frequência 1\\ \text{kHz} não altera as relações de razão de tensões/correntes para um transformador ideal (a menos que se considerem efeitos reais como reatância do enrolamento), então podemos ignorá-la aqui.

Passo 3

Aplicar a relação tensão-espiras para obter a tensão no secundário (que é exatamente a tensão sobre o resistor, pois está conectado ao secundário).
Primeiro identifique a. Como N_p:N_s = 1:4,
a=\frac{N_p}{N_s}=\frac{1}{4}.
Da relação de tensões:
\frac{V_p}{V_s}=a=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad V_s=\frac{V_p}{a}=V_p\cdot\frac{1}{a}.
Como \dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{1/4}=4, temos
V_s = 4\,V_p.
Substituindo V_p=10\\ \mathrm{V_{rms}}:
V_s = 4\cdot 10\\ \mathrm{V_{rms}} = 40\\ \mathrm{V_{rms}}.
Portanto a tensão no secundário (e sobre o resistor de 100\\ \Omega) é \;40\\ \mathrm{V_{rms}}.

Passo 4

Calcular a corrente no secundário usando a lei de Ohm (a carga é puramente resistiva):
I_s=\frac{V_s}{R_L}=\frac{40\\ \mathrm{V_{rms}}}{100\\ \Omega}=0,4\\ \mathrm{A_{rms}}.

Passo 5

Calcular a corrente no primário usando a relação corrente-espiras ou usando impedância refletida (vou fazer os dois como verificação, porque é bom aprender as duas formas).
Método 1 — relação corrente-espiras:
\frac{I_p}{I_s}=\frac{N_s}{N_p}=\frac{1}{a}=4,
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I_p = 4\,I_s = 4\cdot 0,4\\ \mathrm{A_{rms}} = 1,6\\ \mathrm{A_{rms}}.
Método 2 — impedância refletida:
Z_{\text{in}} = a^2 Z_L = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot 100\\ \Omega = \frac{1}{16}\cdot 100\\ \Omega = 6,25\\ \Omega.
Então
I_p=\frac{V_p}{Z_{\text{in}}}=\frac{10\\ \mathrm{V_{rms}}}{6,25\\ \Omega}=1,6\\ \mathrm{A_{rms}}.
Os dois métodos coincidem, perfeito — isso confirma o resultado.

Passo 6

Interpretação final e observações úteis para a prova (dicas de memorização e verificação):
  • Resultado em magnitudes rms: a tensão no resistor é maior que a do primário porque o transformador aumenta a tensão (relação 1:4). A corrente no primário é maior que a do secundário porque as correntes se relacionam inversamente às espiras.
  • Fórmulas-chave para lembrar (com a=\dfrac{N_p}{N_s}):
    • V_s = \dfrac{V_p}{a} ou V_p/V_s=a.
    • I_p = \dfrac{I_s}{a} ou I_p/I_s = 1/a = N_s/N_p.
    • Z_{\text{in}} = a^2 Z_L.
  • Checagem rápida: potência aparente (ideal) S_p = V_p I_p deve igualar S_s = V_s I_s. Verificando: 10\cdot1,6=16\\ \mathrm{VA} e 40\cdot0,4=16\\ \mathrm{VA} — bate certinho.
Vai dar tudo certo na prova — lembra dessas relações e faz uma verificação com a impedância refletida quando tiver dúvidas.

Resposta

I_p = 1,6\\ \mathrm{A_{rms}}
V_{R} = 40\\ \mathrm{V_{rms}}

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