1. 100 e^{-x / 100}=0,01 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
100\,e^{-x/100}=0,01\,x^{2}.
O conteúdo envolvido é a resolução de equações que combinam termo exponencial e termo polinomial, e vamos usar a função Lambert W para isolar x.

Passo 2

Escrevemos 0,01=\tfrac{1}{100} e multiplicamos ambos os lados por 100:
100\,e^{-x/100} = \tfrac{x^{2}}{100} \quad\Longrightarrow\quad 10000\,e^{-x/100}=x^{2}.

Passo 3

Fazemos a substituição
t=\frac{x}{100},
então x=100\,t e x^{2}=10000\,t^{2}. A equação fica
10000\,e^{-t}=10000\,t^{2} \quad\Longrightarrow\quad t^{2}\,e^{t}=1.

Passo 4

Reescrevemos t^{2}e^{t}=1 como
\bigl(t\,e^{t/2}\bigr)^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad t\,e^{t/2}=1,
pois buscamos soluções reais e o lado esquerdo é positivo.

Passo 5

Definimos u=\tfrac{t}{2}. Então t=2u e a equação t\,e^{t/2}=1 vira
2u\,e^{u}=1 \quad\Longrightarrow\quad u\,e^{u}=\tfrac12.
Pela definição da função Lambert W,
u=W\!\bigl(\tfrac12\bigr).

Passo 6

Voltando a t e a x:
t=2\,W\!\bigl(\tfrac12\bigr), \qquad x=100\,t=200\,W\!\bigl(\tfrac12\bigr).
Numericamente, W(\tfrac12)\approx0,35173, logo
x\approx200\times0,35173=70,35.

Resposta

x=200\,W\!\bigl(\tfrac12\bigr)\approx70,35

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