Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.
7. \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\infty, \quad \lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x)=-\infty, \quad \lim _{x \rightarrow 3^{+}} f(x)=\infty, \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=1, \quad \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=-1

Passo 1

O enunciado pede um esboço de um exemplo de função f que tenha:
  1. Vertical assíntota em x=0 com \lim_{x\to0}f(x)=+\infty.
  2. Vertical assíntota em x=3 com \lim_{x\to3^-}f(x)=-\infty e \lim_{x\to3^+}f(x)=+\infty.
  3. Assíntotas horizontais \lim_{x\to-\infty}f(x)=1 e \lim_{x\to+\infty}f(x)=-1.
    Para montar um exemplo, vamos combinar termos que produzam cada comportamento de assíntota e depois somá-los.

Passo 2

Para as assíntotas horizontais usamos a função \arctan(x), pois
\arctan(x)\;\xrightarrow[x\to-\infty]{}\;-\,\frac{\pi}{2} \quad\text{e}\quad \arctan(x)\;\xrightarrow[x\to+\infty]{}\;+\frac{\pi}{2}.
Logo, o termo
-\frac{2}{\pi}\,\arctan(x)
tem \lim_{x\to-\infty} -\tfrac{2}{\pi}\arctan(x)=1
e \lim_{x\to+\infty} -\tfrac{2}{\pi}\arctan(x)=-1.

Passo 3

Para a assíntota em x=0 com divergência positiva em ambos os lados, usamos
\frac{1}{x^2}\;\xrightarrow[x\to0]{}\;+\infty.
Para a assíntota em x=3 que vai a -\infty pela esquerda e +\infty pela direita, usamos
\frac{1}{x-3}\;\xrightarrow[x\to3^-]{}\;-\,\infty, \quad \frac{1}{x-3}\;\xrightarrow[x\to3^+]{}\;+\,\infty.

Passo 4

Somando esses termos, um exemplo de função que reúne todos os comportamentos é
f(x) = -\frac{2}{\pi}\,\arctan(x) \;+\; \frac{1}{x^2} \;+\; \frac{1}{x-3}.

Passo 5

Verificação rápida dos limites:
  • x\to0: o termo \tfrac1{x^2}\to+\infty domina, logo f(x)\to+\infty.
  • x\to3^-: \tfrac1{x-3}\to-\infty domina, logo f(x)\to-\infty.
  • x\to3^+: \tfrac1{x-3}\to+\infty domina, logo f(x)\to+\infty.
  • x\to-\infty: \arctan(x)\to-\tfrac\pi2 e os termos racionais vão a 0, logo f(x)\to1.
  • x\to+\infty: \arctan(x)\to+\tfrac\pi2 e os racionais vão a 0, logo f(x)\to-1.

Passo 6

Esboço qualitativo do gráfico:
  • Trace as retas x=0 e x=3 como verticais. Em x=0 o gráfico sobe para +\infty dos dois lados. Em x=3 ele cai para -\infty à esquerda e sobe para +\infty à direita.
  • Trace as retas horizontais y=1 (à esquerda o ramo se aproxima desta) e y=-1 (à direita se aproxima desta).
  • Em cada intervalo (-\infty,0), (0,3) e (3,\infty) desenhe uma curva que respeite essas assíntotas, sem cruzar as verticais. Na prática teremos três “ramificações” do gráfico ligadas suavemente às assíntotas horizontais e verticais conforme descrito.

Resposta

Um exemplo de função é
f(x) = -\frac{2}{\pi}\,\arctan(x) \;+\; \frac{1}{x^2} \;+\; \frac{1}{x-3},
cujo esboço apresenta as assíntotas verticais x=0 (todas direções para +\infty) e x=3 (esquerda para -\infty, direita para +\infty), e as horizontais y=1 em -\infty e y=-1 em +\infty.

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