11.13 A impedância de Thévenin de uma fonte é \mathbf{Z}_{\mathrm{Th}}=120+ j 60 \Omega, enquanto a tensão de Thévenin de pico é \mathbf{V}_{\mathrm{Th}}= 165+j 0 \mathrm{~V}. Determine a potência média máxima disponível da fonte.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a potência média máxima disponível da fonte.
Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
\mathbf{Z}_{\mathrm{Th}} = 120 + j\,60\\ \Omega
\mathbf{V}_{\mathrm{Th}} = 165 + j\,0\\ \mathrm{V}
Observações úteis tiradas do enunciado: \mathbf{V}_{\mathrm{Th}} é a tensão de Thévenin em valor de pico (pois é dada como 165+j0 V, ou seja 165 V com ângulo zero). A impedância de Thévenin tem parte real \operatorname{Re}(\mathbf{Z}_{\mathrm{Th}})=120\\ \Omega e parte imaginária \operatorname{Im}(\mathbf{Z}_{\mathrm{Th}})=60\\ \Omega.
A pergunta única é: qual é a potência média máxima que essa fonte pode fornecer a uma carga?

Passo 2

Princípio necessário (explicação didática): regra da máxima transferência de potência em regime senoidal.
  • Em regime senoidal com fasores, a corrente complexa que alimenta a carga Z_L é
I = \frac{\mathbf{V}_{\mathrm{Th}}}{\mathbf{Z}_{\mathrm{Th}} + Z_L}.
  • A potência média (real) absorvida pela carga Z_L pode ser escrita em termos do módulo da corrente pico como
P = \tfrac{1}{2}\,|I|^2\,\operatorname{Re}(Z_L).
Explicação das fórmulas (em palavras simples): |I| é a magnitude da corrente em valor de pico; o fator \tfrac{1}{2} aparece porque a potência média para senóide é meia do produto das amplitudes (ou porque P=\operatorname{Re}\{\tfrac{1}{2}\mathbf{V}\mathbf{I}^*\}). A potência real depende apenas da parte real da impedância que dissipa energia ( \operatorname{Re}(Z_L)).
Teorema de máxima potência: para maximizar P variando Z_L, escolhe-se
Z_L = \mathbf{Z}_{\mathrm{Th}}^*,
ou seja, a carga deve ser o conjugado complexo da impedância de Thévenin. Intuição rápida: isso zera efeitos reativos conjunto e deixa a soma \mathbf{Z}_{\mathrm{Th}}+Z_L puramente real e igual a 2\operatorname{Re}(\mathbf{Z}_{\mathrm{Th}}), maximizando a corrente útil que produz potência real.

Passo 3

Aplicando o casamento por conjugado Z_L=\mathbf{Z}_{\mathrm{Th}}^*:
  • a soma dos impedâncias fica
\mathbf{Z}_{\mathrm{Th}}+Z_L = \mathbf{Z}_{\mathrm{Th}}+\mathbf{Z}_{\mathrm{Th}}^* = 2\,\operatorname{Re}(\mathbf{Z}_{\mathrm{Th}}).
Isto é uma resistência pura de valor 2\operatorname{Re}(\mathbf{Z}_{\mathrm{Th}}).
  • A magnitude da corrente pico é então
|I| = \frac{|\mathbf{V}_{\mathrm{Th}}|}{2\,\operatorname{Re}(\mathbf{Z}_{\mathrm{Th}})}.
  • Substituindo em P=\tfrac{1}{2}|I|^2\operatorname{Re}(Z_L) e usando \operatorname{Re}(Z_L)=\operatorname{Re}(\mathbf{Z}_{\mathrm{Th}}) obtemos:
P_{\max} = \tfrac{1}{2}\left(\frac{|\mathbf{V}_{\mathrm{Th}}|}{2\,\operatorname{Re}(\mathbf{Z}_{\mathrm{Th}})}\right)^2 \operatorname{Re}(\mathbf{Z}_{\mathrm{Th}}).
Agora simplificamos passo a passo (explico cada cancelamento para você poder reproduzir na prova):
P_{\max} = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{|\mathbf{V}_{\mathrm{Th}}|^2}{4\,\operatorname{Re}(\mathbf{Z}_{\mathrm{Th}})^2}\cdot\operatorname{Re}(\mathbf{Z}_{\mathrm{Th}}).
Cortando um fator \operatorname{Re}(\mathbf{Z}_{\mathrm{Th}}) do numerador e denominador:
P_{\max} = \frac{|\mathbf{V}_{\mathrm{Th}}|^2}{8\,\operatorname{Re}(\mathbf{Z}_{\mathrm{Th}})}.
Comentário prático sobre pico vs RMS: se você trabalhasse com valores RMS em vez de pico, a fórmula equivalente seria
P_{\max} = \frac{|\mathbf{V}_{\mathrm{Th,rms}}|^2}{4\,\operatorname{Re}(\mathbf{Z}_{\mathrm{Th}})},
porque V_{\mathrm{rms}}=V_{\mathrm{peak}}/\sqrt{2}. Ambas as formas são consistentes; aqui usamos a forma com pico porque \mathbf{V}_{\mathrm{Th}} foi dada em pico.

Passo 4

Agora aplicamos os números do enunciado com calma:
  • magnitude da tensão de Thévenin (pegando do enunciado \mathbf{V}_{\mathrm{Th}}=165+j0 V):
|\mathbf{V}_{\mathrm{Th}}| = \sqrt{165^2 + 0^2} = 165\\ \mathrm{V}.
  • parte real da impedância de Thévenin:
\operatorname{Re}(\mathbf{Z}_{\mathrm{Th}}) = 120\\ \Omega.
  • aplicando a fórmula
P_{\max} = \frac{165^2}{8\cdot 120}.
Faço as contas passo a passo:
165^2 = 27225,
8\cdot 120 = 960,
P_{\max} = \frac{27225}{960} = 28{,}359375\\ \mathrm{W}.
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em provas e relatórios):
P_{\max} \approx 28{,}36\\ \mathrm{W}.

Resposta

28{,}36\\ \mathrm{W}

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