11.3 A amplitude da tensão disponível em uma tomada de 120 V, 60 Hz , em sua residência é:
(a) 110 V
(b) 120 V
(c) 170 V
(d) 210 V

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a amplitude (máximo) da tensão disponível numa tomada descrita como 120\\ \mathrm{V},\\\ 60\\ \mathrm{Hz}. Informações relevantes dadas:
  • Valor nominal da tomada: 120\\ \mathrm{V}.
  • Frequência: 60\\ \mathrm{Hz}.
  • Pergunta: “a amplitude da tensão” — isto é, o valor de pico (máximo) da forma de onda.

Passo 2

Precisamos entender o que significa “ 120\\ \mathrm{V}” no enunciado. Em instalações residenciais esse valor é o valor eficaz (RMS), chamado \mathrm{V_{rms}}. Vou explicar por que e como relacionar o valor eficaz com o valor de pico.
Definição de valor eficaz para uma tensão periódica v(t):
\mathrm{V_{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} [v(t)]^{2}\,dt},
onde T é o período da onda. Para uma tensão senoidal pura podemos escrever
v(t)=V_{\text{p}}\sin(\omega t),
onde V_{\text{p}} é a amplitude (valor de pico) que queremos achar e \omega=2\pi f é a pulsação. Substituindo na definição:
\mathrm{V_{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} V_{\text{p}}^{2}\sin^{2}(\omega t)\,dt} =V_{\text{p}}\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt}.
Agora calculamos a média de \sin^{2} num período. Usamos a identidade
\sin^{2}\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Integrando num período T a média do termo \cos(2\omega t) é zero, portanto
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt=\frac{1}{2}.
Substituindo na expressão do \mathrm{V_{rms}} obtemos a relação clássica para seno:
\mathrm{V_{rms}}=\frac{V_{\text{p}}}{\sqrt{2}}.
Essa fórmula diz: para uma senoide, o valor eficaz é o pico dividido por \sqrt{2}.

Passo 3

Isolamos V_{\text{p}} da relação:
V_{\text{p}}=\mathrm{V_{rms}}\sqrt{2}.
No enunciado temos \mathrm{V_{rms}}=120\\ \mathrm{V}. Então
V_{\text{p}}=120\cdot\sqrt{2}\\ \mathrm{V}.
Usamos a aproximação \sqrt{2}\approx 1,414. Calculando passo a passo:
120\times 1,414 = 120\times(1,000+0,414)=120000\times10^{-3}+49,68=141,4+28,28=169,68.
(ou fazendo mais direto: 1,414\times100=141,4 e 1,414\times20=28,28; soma 141,4+28,28=169,68). Portanto
V_{\text{p}}\approx 169{,}7\\ \mathrm{V}\approx 170\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Comentário prático e reforço: a frequência 60\\ \mathrm{Hz} não muda a relação entre RMS e pico para uma senoide — a relação \mathrm{V_{rms}}=V_{\text{p}}/\sqrt{2} vale para qualquer frequência, desde que a forma de onda seja senoidal. Assim, entre as alternativas dadas a que coincide com o valor de pico calculado é 170\\ \mathrm{V}.

Resposta

(c) 170\\ \mathrm{V}

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