11.2 A impedância de Thévenin de um circuito vista dos terminais da carga é 80+j 55 \Omega. Para máxima a transferência de potência, a impedância da carga deve ser:
(a) -80+j 55 \Omega
(b) -80-j 55 \Omega
(c) 80-j 55 \Omega
(d) 80+j 55 \Omega

Passo 1

O enunciado dá a impedância de Thévenin vista dos terminais da carga: Z_{Th}=80+j\,55\\ \Omega.
A pergunta é: para máxima transferência de potência, qual deve ser a impedância da carga? As alternativas são:
(a) -80+j\,55\\ \Omega
(b) -80-j\,55\\ \Omega
(c) 80-j\,55\\ \Omega
(d) 80+j\,55\\ \Omega

Passo 2

Vamos traduzir o problema em símbolos gerais para entender o que precisamos achar. Seja a impedância de Thévenin
Z_{Th}=R_{Th}+jX_{Th},
e a impedância da carga
Z_{L}=R_{L}+jX_{L}.
Aqui R_{Th} e R_{L} são as partes resistivas (números reais, dissipam potência) e X_{Th} e X_{L} são as partes reativas (indutivas ou capacitivas). No nosso caso, a partir do enunciado temos R_{Th}=80 e X_{Th}=55.

Passo 3

Escrevemos a corrente RMS que circula pela carga quando a fonte de Thévenin tem tensão RMS V_{Th}:
I=\frac{V_{Th}}{Z_{Th}+Z_{L}}.
A potência média absorvida pela carga (potência real) é
P_{L}=|I|^{2}R_{L}=\frac{|V_{Th}|^{2}}{|Z_{Th}+Z_{L}|^{2}}\,R_{L}.
Esta é a expressão que precisamos maximizar em relação a R_{L} e X_{L}.

Passo 4

Escrevemos o denominador em termos das partes real e imaginária:
|Z_{Th}+Z_{L}|^{2}=(R_{Th}+R_{L})^{2}+(X_{Th}+X_{L})^{2}.
Para um dado R_{L}, essa expressão é minimizada quando a parte reativa é zero, ou seja, quando
X_{L}=-X_{Th}.
Intuição: se cancelar a reatância do gerador com a reatância da carga, sobram só resistências e a parcela imaginária não aumenta o módulo do denominador — isso tende a aumentar P_{L}. Portanto, para máxima potência devemos escolher X_{L}=-X_{Th}.

Passo 5

Com X_{L}=-X_{Th} a potência vira
P_{L}=\frac{|V_{Th}|^{2}}{(R_{Th}+R_{L})^{2}}\,R_{L}.
Agora só falta achar R_{L} que maximiza a função
f(R_{L})=\frac{R_{L}}{(R_{Th}+R_{L})^{2}}.
Derivando em relação a R_{L} (cálculo simples) e igualando a zero:
f'(R_{L})=\frac{(R_{Th}+R_{L})^{2}-2R_{L}(R_{Th}+R_{L})}{(R_{Th}+R_{L})^{4}}=\frac{R_{Th}-R_{L}}{(R_{Th}+R_{L})^{3}}=0.
Daí vem
R_{L}=R_{Th}.
Verificação rápida: segunda derivada é negativa neste ponto, logo é máximo.

Passo 6

Juntando os resultados: R_{L}=R_{Th} e X_{L}=-X_{Th}. Em forma de impedância,
Z_{L}=R_{Th}-jX_{Th}=Z_{Th}^{*},
ou seja, a impedância ótima é o conjugado complexo da impedância de Thévenin.

Passo 7

Aplicando aos números dados: Z_{Th}=80+j\,55\\ \Omega => o conjugado complexo é
Z_{L}=80-j\,55\\ \Omega.
Isso corresponde à alternativa (c).

Resposta

(c) 80-j\,55\\ \Omega

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