11-14 Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se r for um vetor posição no espaço tridimensional, então um campo vetorial do tipo será um exemplo de um campo de quadrado inverso.

Passo 1

O enunciado diz que, em R^3, seja r o vetor posição com norma |r|=raizx^2+y^2+z^2. Afirma-se que um campo vetorial do tipo
F(r) = k,r|r|^3
é um exemplo de campo de quadrado inverso. Aqui o conteúdo é reconhecer o que é um campo de quadrado inverso (ou inverse-square field) e verificar se F satisfaz essa propriedade.

Passo 2

Um campo de quadrado inverso é aquele cuja intensidade (ou módulo) depende de |r| proporcionalmente a 1/|r|^2. Em outras palavras, se F(r) for tal que
l|F(r)r|propto 1|r|^2,
então ele é um campo de quadrado inverso.

Passo 3

Calculemos o módulo de
F(r) = k,r|r|^3.
Como |r| é a norma de r, temos
l|F(r)r| = l|kr|;|r||r|^3 = |k||r|^2

Passo 4

Vimos que
l|F(r)r = |k||r|^2,
ou seja, o módulo de F(r) varia exatamente como 1/|r|^2. Logo F é de fato um campo de quadrado inverso.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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