Uma esfera de raio R possui densidade de cargas e carga total Q. Determine o campo e o potencial elétrico para r<R e r>R

Passo 1

A questão pede o campo elétrico e o potencial de uma esfera de raio R com carga total Q distribuída uniformemente no volume. O conteúdo envolvido é a Lei de Gauss para o campo e a definição de potencial V(r)=-integral Ecdot dr. Vamos usar a densidade volumétrica rho e garantir continuidade em r=R.

Passo 2

Como a carga total é e o volume da esfera é , a densidade volumétrica é

Passo 3

Para , tome uma superfície gaussiana esférica de raio . A carga interna é
Aplicando a Lei de Gauss, , obtemos

Passo 4

Para , toda a carga está dentro da superfície gaussiana de raio , logo

Passo 5

Escolhendo , para temos
Para encontrar em , imponha continuidade em :
Depois integre de até (com sinal menos):

Resposta

Campo elétrico:
E(r)= dfrac14pivarepsilon0dfracQR^3,r,&r<R, dfrac14pivarepsilon0dfracQr^2,&r>R
Potencial elétrico:
V(r)= dfrac14pivarepsilon0dfracQ2Rl(3-dfracr^2R^2r),&r<R, dfrac14pivarepsilon0dfracQr,&r>R

Exercícios relacionados