(11.17 Beer) A aceleração de uma partícula é definida pela relação
. Determinou-se experimentalmente que
quando
e que
quando
Determine
(a) a velocidade quanto
(b) a posição da partícula na qual sua velocidade é zero.
(b) a posição da partícula na qual sua velocidade é zero.
Passo 1
O enunciado dá a relação entre aceleração e posição e dois pontos experimentais. Dados e o que precisa ser determinado:
- A aceleração é dada por
. - Medidas experimentais:
- Quando
tem-se . - Quando
tem-se .
- Quando
- Pedidos:
- (a) Determinar a velocidade quando
. - (b) Determinar a posição em que a velocidade é zero.
- (a) Determinar a velocidade quando
Observações importantes que já aparecem no enunciado e que serão usadas: os valores de
e
dados e a fórmula de
. A partir daqui vamos relacionar
,
e
e usar os dois pontos para achar as constantes necessárias.
Passo 2
Relacionando
,
e
— derivação passo a passo (a ideia física: aceleração é a derivada da velocidade no tempo, mas podemos trocar a variável usando a regra da cadeia).
- Por definição, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
- Usando a regra da cadeia, como
, - Como no enunciado
, igualamos: - Agora separe as variáveis para integrar (isso é como obter uma “energia efetiva” integrando aceleração em função de posição):
- Integramos ambos os lados. A integral de
é . A integral de é . Assim: onde é uma constante de integração. Atenção: aparece porque a integral de usa valor absoluto — isso garante que a expressão fica válida tanto para quanto para .
Essa expressão é a relação que vamos usar para achar
,
e então
para qualquer
.
Passo 3
Determinar
e
usando os dois pontos dados (a ideia: substituir os dois pares
na expressão anterior e resolver para
e
).
- Para o ponto 1
: - Para o ponto 2
: - Subtraindo a segunda da primeira para eliminar
: Assim isolamos : - Agora calculamos passo a passo os números (tudo em SI):
(unidade de
: da relação
segue
em
.)
- Agora encontramos
usando um dos pontos (uso o primeiro): Calculando:
(os arredondamentos são consistentes; usaríamos valores mais precisos se fosse necessário maior precisão.)
Portanto temos, aproximadamente,
Passo 4
Parte (a): avaliar a velocidade quando
.
- Pela fórmula obtida:
Como a fórmula usa , para substitui-se . - Calculemos
. Então O termo . Assim Ou seja - Interpretação física e conclusão para (a):
não é fisicamente possível; isso significa que, com as constantes determinadas a partir dos dados experimentais, a partícula não pode atingir (ou seja, não existe velocidade real para esse ). Em vez disso, existe um ponto de inversão de sentido (velocidade zero) em um valor de menor que ; veremos isso no passo seguinte.
Passo 5
Parte (b): encontrar a posição onde a velocidade é zero.
- Colocar
na fórmula: Portanto - Usando os valores aproximados
e : - Interpretação física: matematicamente a condição
ocorre para porque a expressão envolve . Porém, com os dados fornecidos a partícula estava em inicialmente; portanto o ponto de inversão alcançável na trajetória é . O valor seria simétrico na expressão, mas para atingir a partícula teria de atravessar a região onde a expressão logarithmica se torna singular (e os dados indicam que a trajetória física se inverte antes disso), então a resposta física relevante é .
Resposta
(a) Não existe velocidade real em
(a expressão dá
; portanto a partícula não pode atingir esse ponto).
(b) (posição onde
; matematicamente
).
(b)