(11.17 Beer) A aceleração de uma partícula é definida pela relação a=-k / x. Determinou-se experimentalmente que v=4,57 \mathrm{~m} / \mathrm{s} quando x=0,18 \mathrm{~m} e que v=2,13 \mathrm{~m} / \mathrm{s} quando x=0,36 \mathrm{~m}

Determine

(a) a velocidade quanto x=-0,46 \mathrm{~m}
(b) a posição da partícula na qual sua velocidade é zero.

Passo 1

O enunciado dá a relação entre aceleração e posição e dois pontos experimentais. Dados e o que precisa ser determinado:
  • A aceleração é dada por \displaystyle a=-\dfrac{k}{x}.
  • Medidas experimentais:
    • Quando x=0{,}18\\ \mathrm{m} tem-se v=4{,}57\\ \mathrm{m/s}.
    • Quando x=0{,}36\\ \mathrm{m} tem-se v=2{,}13\\ \mathrm{m/s}.
  • Pedidos:
    • (a) Determinar a velocidade quando x=-0{,}46\\ \mathrm{m}.
    • (b) Determinar a posição em que a velocidade é zero.
Observações importantes que já aparecem no enunciado e que serão usadas: os valores de v e x dados e a fórmula de a. A partir daqui vamos relacionar a, v e x e usar os dois pontos para achar as constantes necessárias.

Passo 2

Relacionando a, v e x — derivação passo a passo (a ideia física: aceleração é a derivada da velocidade no tempo, mas podemos trocar a variável usando a regra da cadeia).
  • Por definição, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo: a=\frac{dv}{dt}.
  • Usando a regra da cadeia, como v=\dfrac{dx}{dt}, \frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx}.
  • Como no enunciado a=-\dfrac{k}{x}, igualamos: v\frac{dv}{dx}=-\frac{k}{x}.
  • Agora separe as variáveis para integrar (isso é como obter uma “energia efetiva” integrando aceleração em função de posição): v\,dv=-k\frac{dx}{x}.
  • Integramos ambos os lados. A integral de v\,dv é \tfrac{1}{2}v^2. A integral de \dfrac{dx}{x} é \ln|x|. Assim: \frac{1}{2}v^2=-k\ln|x|+C,onde C é uma constante de integração. Atenção: aparece \ln|x| porque a integral de 1/x usa valor absoluto — isso garante que a expressão fica válida tanto para x>0 quanto para x<0.
Essa expressão é a relação que vamos usar para achar k, C e então v para qualquer x.

Passo 3

Determinar k e C usando os dois pontos dados (a ideia: substituir os dois pares (x,v) na expressão anterior e resolver para k e C).
  • Para o ponto 1 (x_1=0{,}18,\\ v_1=4{,}57): \frac{1}{2}v_1^2=-k\ln|x_1|+C.
  • Para o ponto 2 (x_2=0{,}36,\\ v_2=2{,}13): \frac{1}{2}v_2^2=-k\ln|x_2|+C.
  • Subtraindo a segunda da primeira para eliminar C: \frac{1}{2}\bigl(v_1^2-v_2^2\bigr)=-k\bigl(\ln|x_1|-\ln|x_2|\bigr)=-k\ln\!\left(\frac{x_1}{x_2}\right).Assim isolamos k: k=-\frac{\tfrac{1}{2}\bigl(v_1^2-v_2^2\bigr)}{\ln\!\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)}.
  • Agora calculamos passo a passo os números (tudo em SI): v_1^2=(4{,}57)^2=20{,}8849,\qquad v_2^2=(2{,}13)^2=4{,}5369.
\tfrac{1}{2}\bigl(v_1^2-v_2^2\bigr)=\tfrac{1}{2}(20{,}8849-4{,}5369)=\tfrac{1}{2}\cdot16{,}3480=8{,}1740.
\ln\!\left(\frac{x_1}{x_2}\right)=\ln\!\left(\frac{0{,}18}{0{,}36}\right)=\ln(0{,}5)=-\ln 2\approx-0{,}693147.
k=-\frac{8{,}1740}{-0{,}693147}\approx 11{,}79\\ \left(\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2\right).
(unidade de k: da relação a=-k/x segue k em \mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2.)
  • Agora encontramos C usando um dos pontos (uso o primeiro): C=\frac{1}{2}v_1^2+k\ln|x_1|.Calculando: \frac{1}{2}v_1^2=10{,}44245,\qquad \ln|x_1|=\ln(0{,}18)\approx-1{,}714798,
k\ln|x_1|\approx 11{,}79\cdot(-1{,}714798)\approx -20{,}222,
C\approx 10{,}44245-20{,}222\approx -9{,}780.
(os arredondamentos são consistentes; usaríamos valores mais precisos se fosse necessário maior precisão.)
Portanto temos, aproximadamente,
\frac{1}{2}v^2=-k\ln|x|+C\quad\text{com}\quad k\approx 11{,}79,\quad C\approx -9{,}78.

Passo 4

Parte (a): avaliar a velocidade quando x=-0{,}46\\ \mathrm{m}.
  • Pela fórmula obtida: \frac{1}{2}v^2=-k\ln|x|+C.Como a fórmula usa \ln|x|, para x=-0{,}46 substitui-se |x|=0{,}46.
  • Calculemos \ln(0{,}46)\approx -0{,}776529. Então \frac{1}{2}v^2\approx -k\ln(0{,}46)+C\approx 11{,}79\cdot 0{,}776529 +(-9{,}78).O termo 11{,}79\cdot 0{,}776529\approx 9{,}159. Assim \frac{1}{2}v^2\approx 9{,}159-9{,}78\approx -0{,}621.Ou seja v^2\approx -1{,}24\quad\text{(valor negativo).}
  • Interpretação física e conclusão para (a): v^2<0 não é fisicamente possível; isso significa que, com as constantes determinadas a partir dos dados experimentais, a partícula não pode atingir x=-0{,}46\\ \mathrm{m} (ou seja, não existe velocidade real para esse x). Em vez disso, existe um ponto de inversão de sentido (velocidade zero) em um valor de |x| menor que 0{,}46\\ \mathrm{m}; veremos isso no passo seguinte.

Passo 5

Parte (b): encontrar a posição onde a velocidade é zero.
  • Colocar v=0 na fórmula: 0=-k\ln|x_0|+C \quad\Longrightarrow\quad \ln|x_0|=\frac{C}{k}.Portanto |x_0|=\exp\!\left(\frac{C}{k}\right).
  • Usando os valores aproximados C\approx -9{,}78 e k\approx 11{,}79: \frac{C}{k}\approx -0{,}829\quad\Rightarrow\quad |x_0|\approx e^{-0{,}829}\approx 0{,}437\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação física: matematicamente a condição v=0 ocorre para x_0=\pm 0{,}437\\ \mathrm{m} porque a expressão envolve \ln|x|. Porém, com os dados fornecidos a partícula estava em x>0 inicialmente; portanto o ponto de inversão alcançável na trajetória é x_0\approx+0{,}437\\ \mathrm{m}. O valor -0{,}437\\ \mathrm{m} seria simétrico na expressão, mas para atingir x<0 a partícula teria de atravessar a região onde a expressão logarithmica se torna singular (e os dados indicam que a trajetória física se inverte antes disso), então a resposta física relevante é x_0\approx+0{,}437\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) Não existe velocidade real em x=-0{,}46\\ \mathrm{m} (a expressão dá v^2<0; portanto a partícula não pode atingir esse ponto).
(b) x\approx 0{,}437\\ \mathrm{m} (posição onde v=0; matematicamente |x|=0{,}437\\ \mathrm{m}).

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