Uma pessoa empurra um engradado de 60 kg com uma força F . A força é sempre direcionada para baixo a 30^{\circ} da horizontal e sua magnitude aumenta até que o engradado comece a deslizar. Determine a aceleração inicial da caixa se o coeficiente de atrito estático for \mu_{\mathrm{s}}=0,6 e o coeficiente de atrito cinético for \mu_{\mathrm{k}}=0,3.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados fornecidos:
    • Massa do engradado: m=60\\ \mathrm{kg}.
    • A força aplicada tem magnitude F e é sempre direcionada para baixo a 30^\circ da horizontal (ou seja, componente vertical para baixo).
    • Coeficiente de atrito estático: \mu_{\mathrm{s}}=0,6.
    • Coeficiente de atrito cinético: \mu_{\mathrm{k}}=0,3.
    • A força F aumenta até que o engradado comece a deslizar.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a aceleração inicial da caixa no instante em que ela começa a deslizar (isto é, a aceleração imediatamente após ultrapassar a força de atrito estático — então a partir desse instante vale o atrito cinético).

Passo 2

Entendendo as forças (diagrama e sentido — aula rápida):
  • Força peso: aponta para baixo com magnitude mg.
  • Força normal do chão sobre a caixa: N, apontando para cima.
  • Força aplicada F: tem duas componentes por causa do ângulo 30^\circ abaixo da horizontal:
    • componente horizontal (direita): F\cos30^\circ,
    • componente vertical (para baixo): F\sin30^\circ.
  • Atrito: enquanto a caixa está em repouso e prestes a deslizar, o atrito estático máximo tem magnitude f_{\mathrm{s,max}}=\mu_{\mathrm{s}}N e age horizontalmente, para a esquerda (opõe o movimento para a direita). Após começar a deslizar, o atrito passa a ser cinético f_{\mathrm{k}}=\mu_{\mathrm{k}}N, também para a esquerda.
  • Importante: enquanto ainda não há movimento vertical, a soma das forças verticais é zero e isso define N. Isso altera o atrito porque N muda com a componente vertical de F.

Passo 3

Calcular a força F no limiar do deslizamento (quando o atrito estático é vencido).
  • Condições no limiar (repouso justo antes de mover, aceleração nula):
    • Equilíbrio vertical: N - mg - F\sin30^\circ = 0. Logo N = mg + F\sin30^\circ.
    • Equilíbrio horizontal no limiar: a componente horizontal da força iguala o atrito estático máximo: F\cos30^\circ = \mu_{\mathrm{s}} N.
  • Substituindo N na segunda equação: F\cos30^\circ = \mu_{\mathrm{s}}\bigl(mg + F\sin30^\circ\bigr).
  • Isolando F: F\bigl(\cos30^\circ - \mu_{\mathrm{s}}\sin30^\circ\bigr)=\mu_{\mathrm{s}}mg,
F_{\text{lim}}=\frac{\mu_{\mathrm{s}}mg}{\cos30^\circ-\mu_{\mathrm{s}}\sin30^\circ}.
  • Agora substituímos números (usar g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}, \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}8660254, \sin30^\circ=0{,}5): \mu_{\mathrm{s}}mg=0{,}6\cdot60\cdot9{,}8=352{,}8\\ \mathrm{N}.
\cos30^\circ-\mu_{\mathrm{s}}\sin30^\circ=0{,}8660254-0{,}6\cdot0{,}5=0{,}8660254-0{,}3=0{,}5660254.
F_{\text{lim}}=\frac{352{,}8}{0{,}5660254}\approx623{,}7\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Calcular a normal N imediatamente antes/depois do início do movimento (o valor de N muda só se F mudar; aqui F foi aumentado até F_{\text{lim}}, e no instante inicial do deslize usamos essencialmente esse F):
  • Usando N = mg + F\sin30^\circ e F=F_{\text{lim}}: N = 60\cdot9{,}8 + 623{,}7\cdot0{,}5.
N = 588 + 311{,}85 = 899{,}85\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Calcular a força de atrito cinético no instante inicial do deslizamento:
  • f_{\mathrm{k}}=\mu_{\mathrm{k}}N=0{,}3\cdot899{,}85\approx269{,}955\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Calcular as componentes horizontais e a resultante que produz a aceleração:
  • Componente horizontal da força aplicada: F_{\text{lim}}\cos30^\circ=623{,}7\cdot0{,}8660254\approx540{,}0\\ \mathrm{N}.
  • Força resultante horizontal imediatamente após iniciar o movimento (para a direita é positiva): F_{\mathrm{res}}=F_{\text{lim}}\cos30^\circ - f_{\mathrm{k}} \approx 540{,}0 - 269{,}955 = 270{,}045\\ \mathrm{N}.
  • Aplicando a segunda lei de Newton na direção horizontal: a=\frac{F_{\mathrm{res}}}{m}=\frac{270{,}045}{60}\approx4{,}50075\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 7

Interpretação final e bom ânimo: a aceleração inicial ficou relativamente alta porque a componente vertical da força aumentou a normal e portanto o atrito, mas a componente horizontal ainda sobra força nette suficiente para acelerar com aproximadamente 4{,}5\\ \mathrm{m/s^2}. Está indo bem — esse tipo de conta é padrão em provas: resolver forças vertical e horizontal, achar F limite com atrito estático, então usar atrito cinético para a aceleração.

Resposta

4{,}50\\ \mathrm{m/s^2}

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