Calcular o valor do ângulo ymax e a deformação em um eixo de transmissão de seção maciça de \mathbf{1 m} de comprimento e raio de \mathbf{1 0 ~ m m} sendo que o ângulo de torção foi de \mathbf{1 0}^{\boldsymbol{\circ}}. Calcular a deformação total do eixo.
\begin{aligned} & 10^{\circ} \mathrm{em} \text { radianos }=\pi(10 / 180)=0,17 \mathrm{radianos} \\ & \gamma_{\max }=(\mathrm{c} \Phi) / \mathrm{L}=10 \mathrm{~mm} \times 0,17 \mathrm{rad} / 1 \mathrm{~m}=1,7 / 1000 \mathrm{rad}=0,0017 \mathrm{rad} \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • Comprimento do eixo: L=1\\ \text{m}.
  • Raio da seção maciça (raio exterior): c=10\\ \text{mm}=0{,}01\\ \text{m}.
  • Ângulo de torção dado: 10^\circ.
O enunciado pede:
  • Converter o ângulo para radianos.
  • Calcular a máxima deformação por cisalhamento (denotada por \gamma_{\max}).
  • Calcular a deformação total do eixo (interpreto aqui como o deslocamento tangencial na superfície externa, ou seja, o comprimento do arco descrito pela extremidade do raio devido à torção).

Passo 2

Converter o ângulo de graus para radianos. A fórmula de conversão é direta:
\Phi = \pi\cdot\frac{10}{180}=\frac{\pi}{18}.
Vamos avaliar numericamente para ter um valor prático:
\Phi=\frac{\pi}{18}\approx 0{,}1745329\\ \text{rad}.
Explicação breve: um círculo completo tem 360^\circ ou 2\pi\\ \text{rad}. Portanto 1^\circ=\pi/180\\ \text{rad}. Multiplicando por 10^\circ obtém-se \pi/18.

Passo 3

Definir a deformação por cisalhamento máxima \gamma_{\max} e a origem da fórmula.
Quando um eixo cilíndrico sofre uma torção homogênea com ângulo de torção \Phi sobre comprimento L, a rotação é linear ao longo do eixo: cada seção gira de forma que um filamento longitudinal próximo à superfície descreve um pequeno ângulo \Phi entre uma extremidade e outra. A deformação por cisalhamento (razão entre deslocamento tangencial e comprimento) na superfície é dada por:
\gamma_{\max}=\frac{c\,\Phi}{L}.
Neste fórmula:
  • \gamma_{\max} é adimensional (é uma deformação, sem unidades),
  • c é o raio externo do eixo (unidades de comprimento),
  • \Phi é o ângulo de torção em radianos,
  • L é o comprimento do eixo (mesmas unidades de comprimento que c).

Passo 4

Calcular \gamma_{\max} numericamente, cuidando das unidades:
\gamma_{\max}=\frac{c\,\Phi}{L}=\frac{0{,}01\\ \text{m}\times 0{,}1745329\\ \text{rad}}{1\\ \text{m}}=0{,}001745329.
Arredondando de forma prática para uso em prova:
\gamma_{\max}\approx 0{,}001745\quad(\text{adimensional}).
Comentário didático: esse valor significa que a fibra mais externa sofreu uma deformação por cisalhamento de aproximadamente 1{,}745\times10^{-3}, ou seja, um deslocamento tangencial de cerca de 0{,}1745\% do comprimento L quando comparado por unidade de comprimento.

Passo 5

Calcular a deformação total do eixo interpretada como deslocamento tangencial na superfície externa (comprimento do arco na extremidade do raio). A relação entre deslocamento tangencial \delta na extremidade e o ângulo \Phi é:
\delta = c\,\Phi.
Substituindo os valores:
\delta = 0{,}01\\ \text{m}\times 0{,}1745329\\ \text{rad}=0{,}001745329\\ \text{m}.
Converter para milímetros (mais intuitivo):
\delta = 1{,}745329\\ \text{mm}\approx 1{,}745\\ \text{mm}.
Comentário: essa é a distância tangencial que um ponto na superfície descreve entre a base (não torcida) e a ponta (torcida) do eixo; é o “deslocamento” absoluto na periferia.

Passo 6

Resumo prático para a prova (como lembrar e aplicar rápido):
  • Converter graus para radianos com \Phi=\pi\cdot(\text{graus}/180).
  • Usar \gamma_{\max}=(c\Phi)/L para obter a máxima deformação por cisalhamento (adimensional).
  • Usar \delta=c\Phi para obter deslocamento tangencial absoluto na superfície (unidade de comprimento).
  • Sempre verificar unidades (colocar c e L nas mesmas unidades antes de dividir).

Resposta

\Phi=\dfrac{\pi}{18}\approx 0{,}1745329\\ \text{rad}
\gamma_{\max}=\dfrac{c\Phi}{L}\approx 0{,}001745 (adimensional)
\text{Deformação total (deslocamento tangencial) } \delta=c\Phi\approx 1{,}745\\ \text{mm}çã

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