(11.23 Beer). Uma bola é solta de um barco de modo que atinge a superfície de um lago com velocidade de 16.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Enquanto está na água, a bola experimenta uma aceleração a=10-0.8 v, onde a e v são expressos em \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} e \mathrm{m} / \mathrm{s}, respectivamente. Sabendo que a bola leva 3 s para chegar ao fundo do lago, determine:
(a) a profundidade do lago,
(b) a velocidade da bola ao atingir o fundo do lago.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados extraídos do enunciado:
    • Velocidade da bola ao atingir a superfície do lago (instante inicial na água): \,v(0)=16{,}5\\ \mathrm{m/s}.
    • Aceleração enquanto está na água: \,a=10-0{,}8\,v, com a em \mathrm{m/s^{2}} e v em \mathrm{m/s}.
    • Tempo gasto dentro da água até o fundo: \,t_{\text{total}}=3\\ \mathrm{s}.
  • O enunciado pede:
    (a) a profundidade do lago (distância percorrida na água em 3\\ \mathrm{s});
    (b) a velocidade da bola ao atingir o fundo do lago (velocidade em t=3\\ \mathrm{s}).

Passo 2

Interpretação matemática do dado da aceleração e escolha do método.
  • A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, isto é, \,a=\dfrac{dv}{dt}.
  • Portanto a lei dada vira a equação diferencial ordinária
\frac{dv}{dt}=10-0{,}8\,v.
  • Observação sobre o sinal e unidades: v aqui é a velocidade (positiva no sentido do movimento para baixo). A equação é uma equação diferencial de primeira ordem; ela é separável (pode-se separar v e t) e também é linear. Vou resolver por separação de variáveis porque é direto e didático para essa prova.

Passo 3

Resolver a equação diferencial por separação de variáveis.
  • Partir de
\frac{dv}{dt}=10-0{,}8\,v.
  • Separando variáveis:
\frac{dv}{10-0{,}8\,v}=dt.
  • Integro ambos os lados (integral indefinida):
\int \frac{dv}{10-0{,}8\,v}=\int dt.
  • Calcular a integral do lado esquerdo. Usar substituição u=10-0{,}8v (então du=-0{,}8\,dv, logo dv=-\dfrac{1}{0{,}8}\,du). Assim
\int \frac{dv}{10-0{,}8v} = -\frac{1}{0{,}8}\int \frac{du}{u} = -\frac{1}{0{,}8}\ln|u| + C.
  • Voltando a v:
-\frac{1}{0{,}8}\ln|10-0{,}8v| = t + C.
  • Simplificar \dfrac{1}{0{,}8}=1{,}25. Então
-1{,}25\ln|10-0{,}8v| = t + C.
  • Isolar o logaritmo e exponenciar. Escrevendo C'=-C e dividindo por -1{,}25:
\ln|10-0{,}8v| = -0{,}8\,t + C'.
10-0{,}8v = K e^{-0{,}8t},\quad\text{com }K=e^{C'}>0.
  • Resolver para v:
0{,}8v = 10 - K e^{-0{,}8t}, \qquad v(t)=\frac{10}{0{,}8} - \frac{K}{0{,}8} e^{-0{,}8t}.
  • Como \dfrac{10}{0{,}8}=12{,}5 e \dfrac{K}{0{,}8} é uma constante arbitrária que chamo de C, escrevo a solução geral na forma mais simples
v(t)=12{,}5 + C e^{-0{,}8t}.

Passo 4

Determinar a constante pela condição inicial \,v(0)=16{,}5.
  • Substituindo t=0 em \,v(t)=12{,}5 + C e^{-0{,}8t}:
v(0)=12{,}5 + C\cdot e^{0}=12{,}5 + C.
  • Como v(0)=16{,}5, tem-se
12{,}5 + C = 16{,}5 \quad\Rightarrow\quad C = 4{,}0.
  • Portanto a solução particular é
v(t)=12{,}5 + 4{,}0\,e^{-0{,}8t}.

Passo 5

Calcular a velocidade da bola ao atingir o fundo (valor em t=3\\ \mathrm{s}).
  • Substituir t=3 em \,v(t):
v(3)=12{,}5 + 4{,}0\,e^{-0{,}8\cdot 3}=12{,}5 + 4{,}0\,e^{-2{,}4}.
  • Aproximação numérica (usar \,e^{-2{,}4}\approx 0{,}090717953):
v(3)\approx 12{,}5 + 4{,}0\times 0{,}090717953 \approx 12{,}5 + 0{,}3628718 \approx 12{,}8629\\ \mathrm{m/s}.
  • Conservando três casas significativas: \,v(3)\approx 12{,}86\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular a profundidade do lago: integrar a velocidade no intervalo de tempo 0 a 3\\ \mathrm{s}.
  • A profundidade é a integral do deslocamento (tomando sentido positivo para baixo):
\text{profundidade} = \int_{0}^{3} v(t)\,dt = \int_{0}^{3}\bigl(12{,}5 + 4{,}0\,e^{-0{,}8t}\bigr)\,dt.
  • Calcular a primitiva:
\int \bigl(12{,}5 + 4{,}0\,e^{-0{,}8t}\bigr)\,dt = 12{,}5\,t + 4{,}0\cdot\left(-\frac{1}{0{,}8}\right)e^{-0{,}8t} + C = 12{,}5\,t -5{,}0\,e^{-0{,}8t} + C.
  • Avaliar de 0 a 3:
\text{profundidade} = \bigl(12{,}5\cdot 3 -5{,}0\,e^{-2{,}4}\bigr) - \bigl(12{,}5\cdot 0 -5{,}0\,e^{0}\bigr) = 37{,}5 -5{,}0\,e^{-2{,}4} +5{,}0.
\text{profundidade} = 42{,}5 -5{,}0\,e^{-2{,}4}.
  • Avaliação numérica usando e^{-2{,}4}\approx 0{,}090717953:
\text{profundidade}\approx 42{,}5 -5{,}0\times 0{,}090717953 \approx 42{,}5 -0{,}4535898 \approx 42{,}04641\\ \mathrm{m}.
  • Conservando três casas significativas: \text{profundidade}\approx 42{,}0\\ \mathrm{m} (ou, com quatro dígitos significativos, 42{,}05\\ \mathrm{m}).

Resposta

\text{Profundidade} = 42{,}5 -5{,}0\,e^{-2{,}4}\\ \mathrm{m} \approx 42{,}05\\ \mathrm{m}\n
\text{Velocidade ao atingir o fundo} = 12{,}5 + 4{,}0\,e^{-2{,}4}\\ \mathrm{m/s} \approx 12{,}86\\ \mathrm{m/s}

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