(11.23 Beer). Uma bola é solta de um barco de modo que atinge a superfície de um lago com velocidade de
. Enquanto está na água, a bola experimenta uma aceleração
, onde
e
são expressos em
e
, respectivamente. Sabendo que a bola leva 3 s para chegar ao fundo do lago, determine:
(a) a profundidade do lago,
(b) a velocidade da bola ao atingir o fundo do lago.
(a) a profundidade do lago,
(b) a velocidade da bola ao atingir o fundo do lago.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados extraídos do enunciado:
- Velocidade da bola ao atingir a superfície do lago (instante inicial na água):
. - Aceleração enquanto está na água:
, com em e em . - Tempo gasto dentro da água até o fundo:
.
- Velocidade da bola ao atingir a superfície do lago (instante inicial na água):
- O enunciado pede:
(a) a profundidade do lago (distância percorrida na água em);
(b) a velocidade da bola ao atingir o fundo do lago (velocidade em).
Passo 2
Interpretação matemática do dado da aceleração e escolha do método.
- A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, isto é,
. - Portanto a lei dada vira a equação diferencial ordinária
- Observação sobre o sinal e unidades:
aqui é a velocidade (positiva no sentido do movimento para baixo). A equação é uma equação diferencial de primeira ordem; ela é separável (pode-se separar e ) e também é linear. Vou resolver por separação de variáveis porque é direto e didático para essa prova.
Passo 3
Resolver a equação diferencial por separação de variáveis.
- Partir de
- Separando variáveis:
- Integro ambos os lados (integral indefinida):
- Calcular a integral do lado esquerdo. Usar substituição
(então , logo ). Assim
- Voltando a
:
- Simplificar
. Então
- Isolar o logaritmo e exponenciar. Escrevendo
e dividindo por :
- Resolver para
:
- Como
e é uma constante arbitrária que chamo de , escrevo a solução geral na forma mais simples
Passo 4
Determinar a constante pela condição inicial
.
- Substituindo
em :
- Como
, tem-se
- Portanto a solução particular é
Passo 5
Calcular a velocidade da bola ao atingir o fundo (valor em
).
- Substituir
em :
- Aproximação numérica (usar
):
- Conservando três casas significativas:
.
Passo 6
Calcular a profundidade do lago: integrar a velocidade no intervalo de tempo
a
.
- A profundidade é a integral do deslocamento (tomando sentido positivo para baixo):
- Calcular a primitiva:
- Avaliar de
a :
- Avaliação numérica usando
:
- Conservando três casas significativas:
(ou, com quatro dígitos significativos, ).