Problema 2. (11.4 Beer). Um vagão de trem carregado está se movendo com velocidade constante quando se acopla a um sistema de para-choques com mola e amortecedor. Após o acoplamento, o movimento do vagão é definido pela relação
em que
e
são expressos em mm e segundos, respectivamente. Determine a posição, a velocidade e a aceleração do vagão quando
Passo 1
O enunciado dá a lei do movimento do vagão e pede três coisas em
.
Informações fornecidas:
- Lei do movimento:
, onde está em milímetros e em segundos. - Perguntas: determinar a posição
, a velocidade e a aceleração do vagão quando .
Passo 2
Calcular a posição em
. Aqui só é preciso substituir
na expressão dada.
Agora avalia passo a passo:
e
. Logo,
Passo 3
Explicar como obter a velocidade: derivação passo a passo.
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo; isto é
. A expressão
é produto de duas funções de
:
e
. Para derivar um produto usa-se a regra do produto:
Também vamos usar a regra da cadeia para derivar composições como
e
:
- Derivada de
em relação a é . Aqui é uma constante. - Derivada de
em relação a é . Aqui é uma constante. - Derivada de
em relação a é .
Vou aplicar essas regras explicitamente para não pular passos.
Passo 4
Derivar
usando a regra do produto.
Primeiro calcule
e
:
Agora aplicar a regra do produto:
Substituindo
:
Fatorando
e simplificando
:
Passo 5
Avaliar a velocidade em
. Substituir
em
.
Usando
e
:
Passo 6
Agora calcular a aceleração:
. Vou derivar
que está na forma
onde
Usa-se novamente a regra do produto: se
então
. Aqui
e
.
Primeiro
.
Agora derivar
termo a termo, usando regra da cadeia:
Somando:
Agora aplicar a regra do produto para
:
Substituindo
:
Fatorando
e agrupando termos em
e
:
Calcule os coeficientes numéricos (fazendo contas passo a passo):
Portanto
Passo 7
Avaliar a aceleração em
.