Problema 2. (11.4 Beer). Um vagão de trem carregado está se movendo com velocidade constante quando se acopla a um sistema de para-choques com mola e amortecedor. Após o acoplamento, o movimento do vagão é definido pela relação x=60 e^{-0.8 t} \sin (16 t) em que x e t são expressos em mm e segundos, respectivamente. Determine a posição, a velocidade e a aceleração do vagão quando t=0

Passo 1

O enunciado dá a lei do movimento do vagão e pede três coisas em t=0.
Informações fornecidas:
  • Lei do movimento: x=60\,e^{-0,8 t}\sin(16 t), onde x está em milímetros e t em segundos.
  • Perguntas: determinar a posição x, a velocidade v e a aceleração a do vagão quando t=0.

Passo 2

Calcular a posição em t=0. Aqui só é preciso substituir t=0 na expressão dada.
x(0)=60\,e^{-0,8\cdot 0}\sin(16\cdot 0).
Agora avalia passo a passo: e^{0}=1 e \sin(0)=0. Logo,
x(0)=60\cdot 1\cdot 0=0\\ \text{mm}.

Passo 3

Explicar como obter a velocidade: derivação passo a passo.
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo; isto é v(t)=\dfrac{dx}{dt}. A expressão x(t) é produto de duas funções de t: u(t)=60\,e^{-0,8t} e w(t)=\sin(16t). Para derivar um produto usa-se a regra do produto:
\text{(Regra do produto)}\quad \frac{d}{dt}\big(u(t)w(t)\big)=u'(t)w(t)+u(t)w'(t).
Também vamos usar a regra da cadeia para derivar composições como e^{at} e \sin(bt):
  • Derivada de e^{a t} em relação a t é a e^{a t}. Aqui a é uma constante.
  • Derivada de \sin(b t) em relação a t é b\cos(b t). Aqui b é uma constante.
  • Derivada de \cos(b t) em relação a t é -b\sin(b t).
Vou aplicar essas regras explicitamente para não pular passos.

Passo 4

Derivar x(t)=60\,e^{-0,8 t}\sin(16 t) usando a regra do produto.
Primeiro calcule u'(t) e w'(t):
u(t)=60\,e^{-0,8 t}\quad\Rightarrow\quad u'(t)=60\cdot(-0,8)\,e^{-0,8 t}=-48\,e^{-0,8 t}.
w(t)=\sin(16 t)\quad\Rightarrow\quad w'(t)=16\cos(16 t).
Agora aplicar a regra do produto:
v(t)=x'(t)=u'(t)w(t)+u(t)w'(t).
Substituindo u,u',w,w':
v(t)=\big(-48\,e^{-0,8 t}\big)\sin(16 t)+\big(60\,e^{-0,8 t}\big)\big(16\cos(16 t)\big).
Fatorando e^{-0,8 t} e simplificando 60\cdot 16=960:
v(t)=e^{-0,8 t}\big(-48\sin(16 t)+960\cos(16 t)\big)\\ \text{mm/s}.

Passo 5

Avaliar a velocidade em t=0. Substituir t=0 em v(t).
v(0)=e^{0}\big(-48\sin(0)+960\cos(0)\big).
Usando \sin(0)=0 e \cos(0)=1:
v(0)=1\cdot\big(0+960\cdot 1\big)=960\\ \text{mm/s}.

Passo 6

Agora calcular a aceleração: a(t)=\dfrac{dv}{dt}=x''(t). Vou derivar v(t) que está na forma v(t)=e^{-0,8 t}\,B(t) onde
B(t)=960\cos(16 t)-48\sin(16 t).
Usa-se novamente a regra do produto: se v(t)=p(t)q(t) então v'(t)=p'(t)q(t)+p(t)q'(t). Aqui p(t)=e^{-0,8 t} e q(t)=B(t).
Primeiro p'(t)= -0,8\,e^{-0,8 t}.
Agora derivar B(t) termo a termo, usando regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\big(960\cos(16 t)\big)=960\cdot(-16)\sin(16 t)=-15360\sin(16 t),
\frac{d}{dt}\big(-48\sin(16 t)\big)=-48\cdot 16\cos(16 t)=-768\cos(16 t).
Somando:
B'(t)=-15360\sin(16 t)-768\cos(16 t).
Agora aplicar a regra do produto para a(t)=v'(t):
a(t)=p'(t)B(t)+p(t)B'(t).
Substituindo p,p',B,B':
a(t)=-0,8\,e^{-0,8 t}\big(960\cos(16 t)-48\sin(16 t)\big)+e^{-0,8 t}\big(-15360\sin(16 t)-768\cos(16 t)\big).
Fatorando e^{-0,8 t} e agrupando termos em \cos e \sin:
a(t)=e^{-0,8 t}\Big[\,\big(-0,8\cdot 960-768\big)\cos(16 t)+\big(0,8\cdot 48-15360\big)\sin(16 t)\Big].
Calcule os coeficientes numéricos (fazendo contas passo a passo):
-0,8\cdot 960=-768,\qquad -768-768=-1536,
0,8\cdot 48=38,4,\qquad 38,4-15360=-15321,6.
Portanto
a(t)=e^{-0,8 t}\big(-1536\cos(16 t)-15321,6\sin(16 t)\big)\\ \text{mm/s}^2.

Passo 7

Avaliar a aceleração em t=0.
a(0)=e^{0}\big(-1536\cos(0)-15321,6\sin(0)\big)=1\cdot\big(-1536\cdot 1-15321,6\cdot 0\big)=-1536\\ \text{mm/s}^2.

Resposta

x(0)=0\\ \text{mm}
v(0)=960\\ \text{mm/s}
a(0)=-1536\\ \text{mm/s}^2

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