Problema 2. (11.4 Beer). Um vagão de trem carregado está se movendo com velocidade constante quando se acopla a um sistema de para-choques com mola e amortecedor. Após o acoplamento, o movimento do vagão é definido pela relação x=60 e^{-0.8 t} \sin (16 t) em que x e t são expressos em mm e segundos, respectivamente. Determine a posição, a velocidade e a aceleração do vagão quando t=0,3 \mathrm{~s}
Passo 1
O enunciado nos dá a posição do vagão após o acoplamento como função do tempo:
x(t)=60\,e^{-0,8t}\sin(16t),
onde x está em \mathrm{mm} e t em \mathrm{s}.
A tarefa é determinar a posição, a velocidade e a aceleração do vagão no instante t=0,3\\ \mathrm{s}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A função de posição é \;x(t)=60\,e^{-0,8t}\sin(16t)\; (unidades: \mathrm{mm} e \mathrm{s}).
O instante pedido é \;t=0,3\\ \mathrm{s}.
Passo 2
Vamos lembrar as regras de diferenciação que precisamos (aula rápida e prática):
Regra do produto: se \;u(t) e \;v(t) são funções,\frac{d}{dt}[u(t)v(t)] = u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
Regra da cadeia: se g(t)=f(h(t)), então g'(t)=f'(h(t))\cdot h'(t).
Derivadas básicas que usamos aqui:\frac{d}{dt}\big(e^{at}\big)=a\,e^{at},\qquad \frac{d}{dt}\big(\sin(bt)\big)=b\cos(bt),\qquad \frac{d}{dt}\big(\cos(bt)\big)=-b\sin(bt).
Nestes itens, a e b são constantes; t é a variável. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular a velocidade \;v(t)=\dfrac{dx}{dt} usando produto e cadeia.
Escrevemos x(t)=60\cdot u(t)\cdot v_1(t) com u(t)=e^{-0,8t} e v_1(t)=\sin(16t). Aplicando a regra do produto:
O argumento das funções trigonométricas é 16t, então em t=0,3 temos
16t=16\cdot 0,3=4,8\\ \text{rad}.
Para \sin(4,8) e \cos(4,8) observe que 4,8 está próximo de \tfrac{3\pi}{2}\approx 4,712389. Escrevendo 4,8=\tfrac{3\pi}{2}+\varepsilon com \varepsilon\approx 0,087611, usamos identidades:
Avaliar a aceleração em t=0,3\\ \mathrm{s}. Usamos os valores já calculados: e^{-0,24}\approx 0,78662786, \sin(4,8)\approx -0,996165, \cos(4,8)\approx 0,087499.