Problema 2. (11.4 Beer). Um vagão de trem carregado está se movendo com velocidade constante quando se acopla a um sistema de para-choques com mola e amortecedor. Após o acoplamento, o movimento do vagão é definido pela relação x=60 e^{-0.8 t} \sin (16 t) em que x e t são expressos em mm e segundos, respectivamente. Determine a posição, a velocidade e a aceleração do vagão quando t=0,3 \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado nos dá a posição do vagão após o acoplamento como função do tempo:
x(t)=60\,e^{-0,8t}\sin(16t),
onde x está em \mathrm{mm} e t em \mathrm{s}.
A tarefa é determinar a posição, a velocidade e a aceleração do vagão no instante t=0,3\\ \mathrm{s}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função de posição é \;x(t)=60\,e^{-0,8t}\sin(16t)\; (unidades: \mathrm{mm} e \mathrm{s}).
  • O instante pedido é \;t=0,3\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Vamos lembrar as regras de diferenciação que precisamos (aula rápida e prática):
  • Regra do produto: se \;u(t) e \;v(t) são funções, \frac{d}{dt}[u(t)v(t)] = u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
  • Regra da cadeia: se g(t)=f(h(t)), então g'(t)=f'(h(t))\cdot h'(t).
  • Derivadas básicas que usamos aqui: \frac{d}{dt}\big(e^{at}\big)=a\,e^{at},\qquad \frac{d}{dt}\big(\sin(bt)\big)=b\cos(bt),\qquad \frac{d}{dt}\big(\cos(bt)\big)=-b\sin(bt).
Nestes itens, a e b são constantes; t é a variável. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular a velocidade \;v(t)=\dfrac{dx}{dt} usando produto e cadeia.
Escrevemos x(t)=60\cdot u(t)\cdot v_1(t) com u(t)=e^{-0,8t} e v_1(t)=\sin(16t). Aplicando a regra do produto:
\frac{dx}{dt}=60\left(u'(t)v_1(t)+u(t)v_1'(t)\right).
Agora as derivadas:
u'(t)=-0,8e^{-0,8t},\qquad v_1'(t)=16\cos(16t).
Substituindo:
\frac{dx}{dt}=60\Big(-0,8e^{-0,8t}\sin(16t)+e^{-0,8t}\cdot 16\cos(16t)\Big).
Fatorando 60e^{-0,8t}:
\boxed{\;v(t)=\frac{dx}{dt}=60\,e^{-0,8t}\big(-0,8\sin(16t)+16\cos(16t)\big)\; }.

Passo 4

Agora avaliamos a posição e a velocidade em t=0,3\\ \mathrm{s}.
Primeiro calculemos alguns valores intermediários:
e^{-0,8t}\Big|_{t=0,3}=e^{-0,8\cdot 0,3}=e^{-0,24}\approx 0,78662786.
O argumento das funções trigonométricas é 16t, então em t=0,3 temos
16t=16\cdot 0,3=4,8\\ \text{rad}.
Para \sin(4,8) e \cos(4,8) observe que 4,8 está próximo de \tfrac{3\pi}{2}\approx 4,712389. Escrevendo 4,8=\tfrac{3\pi}{2}+\varepsilon com \varepsilon\approx 0,087611, usamos identidades:
\sin\!\big(\tfrac{3\pi}{2}+\varepsilon\big)=-\cos(\varepsilon),\qquad \cos\!\big(\tfrac{3\pi}{2}+\varepsilon\big)=\sin(\varepsilon).
Para \varepsilon\approx 0,087611 (pequeno) usamos aproximações de série:
\cos(\varepsilon)\approx 1-\frac{\varepsilon^{2}}{2}\approx 0,996165,\qquad \sin(\varepsilon)\approx \varepsilon-\frac{\varepsilon^{3}}{6}\approx 0,087499.
Portanto
\sin(4,8)\approx -0,996165,\qquad \cos(4,8)\approx 0,087499.
Agora a posição:
x(0,3)=60\cdot e^{-0,24}\cdot \sin(4,8) \approx 60\cdot 0,78662786\cdot(-0,996165).
Fazendo as contas:
60\cdot 0,78662786\approx 47,1977,
47,1977\cdot(-0,996165)\approx -47,0167.
Então
\boxed{\;x(0,3)\approx -47,02\\ \mathrm{mm}\; }.
Agora a velocidade usando a expressão de v(t):
v(0,3)=60\,e^{-0,24}\big(-0,8\sin(4,8)+16\cos(4,8)\big).
Calcule o parêntese:
-0,8\sin(4,8)+16\cos(4,8)\approx -0,8(-0,996165)+16(0,087499)
\approx 0,796932+1,399984\approx 2,196916.
Logo
v(0,3)\approx 60\cdot 0,78662786\cdot 2,196916.
Já calculamos 60\cdot 0,78662786\approx 47,1977. Multiplicando:
47,1977\cdot 2,196916\approx 103,689.
Portanto
\boxed{\;v(0,3)\approx 103,69\\ \mathrm{mm/s}\; }.

Passo 5

Agora a aceleração \;a(t)=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}=\dfrac{dv}{dt}. Vou derivar a expressão simbólica de v(t) e depois avaliar em t=0,3.
Partimos de
v(t)=60\,e^{-0,8t}\big(-0,8\sin(16t)+16\cos(16t)\big).
Aplicando produto/chain de novo (derivando e^{-0,8t} e o parêntese):
a(t)=60\Big(-0,8e^{-0,8t}\big(-0,8\sin(16t)+16\cos(16t)\big) +e^{-0,8t}\frac{d}{dt}\big(-0,8\sin(16t)+16\cos(16t)\big)\Big).
Agora \dfrac{d}{dt}\big(-0,8\sin(16t)+16\cos(16t)\big)=-0,8\cdot 16\cos(16t)+16\cdot(-16)\sin(16t).
Isto é
\frac{d}{dt}\big(-0,8\sin(16t)+16\cos(16t)\big)=-12,8\cos(16t)-256\sin(16t).
Substituindo e fatorando 60e^{-0,8t}:
a(t)=60\,e^{-0,8t}\Big(-0,8\big(-0,8\sin(16t)+16\cos(16t)\big)-12,8\cos(16t)-256\sin(16t)\Big).
Simplificando os termos dentro do colchete:
-0,8(-0,8\sin+16\cos)=0,64\sin-12,8\cos,
então o somatório é
(0,64\sin-12,8\cos)-12,8\cos-256\sin = -255,36\sin-25,6\cos.
Portanto uma forma compacta é
\boxed{\;a(t)=60\,e^{-0,8t}\big(-255,36\sin(16t)-25,6\cos(16t)\big)\; }.

Passo 6

Avaliar a aceleração em t=0,3\\ \mathrm{s}. Usamos os valores já calculados: e^{-0,24}\approx 0,78662786, \sin(4,8)\approx -0,996165, \cos(4,8)\approx 0,087499.
Calcule o parêntese:
-255,36\sin(4,8)-25,6\cos(4,8)\approx -255,36(-0,996165)-25,6(0,087499).
\approx 254,3810-2,23998\approx 252,1410.
Agora
a(0,3)\approx 60\cdot 0,78662786\cdot 252,1410.
Sabendo 60\cdot 0,78662786\approx 47,1977, multiplicamos:
47,1977\cdot 252,1410\approx 11900,47.
Assim
\boxed{\;a(0,3)\approx 11900,47\\ \mathrm{mm/s^{2}}\; }.

Resposta

x(0,3)\approx -47,02\\ \mathrm{mm}
v(0,3)\approx 103,69\\ \mathrm{mm/s}
a(0,3)\approx 11900,47\\ \mathrm{mm/s^{2}}

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