{ }^{*} 11. Considere \left(x_{i}, y_{i}, z_{i}\right), i=1,2,3,4,5,6,7,8,9, um conjunto de nove pontos distintos com coordenadas inteiras no espaço xyz. Mostre que o ponto médio de pelo menos um par desses pontos tem coordenadas inteiras.

Passo 1

O enunciado dá nove pontos \bigl(x_i,y_i,z_i\bigr), com i=1,2,\dots,9, todos com coordenadas inteiras, e pede para mostrar que existe algum par desses pontos cujo ponto médio também tem coordenadas inteiras. O conteúdo principal é o Princípio da Casa dos Pombos aplicado a classes de paridade.

Passo 2

Para cada ponto \bigl(x_i,y_i,z_i\bigr) considere seu vetor de paridades
\bigl(x_i \bmod 2,\;y_i \bmod 2,\;z_i \bmod 2\bigr),
onde cada coordenada vale 0 ou 1. Há exatamente
2^3 = 8
possíveis vetores de paridade no espaço.

Passo 3

Como temos 9 pontos e apenas 8 classes de paridade, pelo Princípio da Casa dos Pombos existem dois índices i\neq j tais que
x_i \equiv x_j \pmod 2, \quad y_i \equiv y_j \pmod 2, \quad z_i \equiv z_j \pmod 2.

Passo 4

Para esses dois pontos, x_i + x_j, y_i + y_j e z_i + z_j são números pares. Logo cada coordenada do ponto médio
\Bigl(\tfrac{x_i + x_j}{2},\;\tfrac{y_i + y_j}{2},\;\tfrac{z_i + z_j}{2}\Bigr)
é um número inteiro.

Resposta

Portanto, entre os nove pontos há sempre pelo menos um par cujo ponto médio tem coordenadas inteiras.

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