11. Considere
, um conjunto de nove pontos distintos com coordenadas inteiras no espaço xyz. Mostre que o ponto médio de pelo menos um par desses pontos tem coordenadas inteiras.
Passo 1
O enunciado dá nove pontos
, com
, todos com coordenadas inteiras, e pede para mostrar que existe algum par desses pontos cujo ponto médio também tem coordenadas inteiras. O conteúdo principal é o Princípio da Casa dos Pombos aplicado a classes de paridade.
Passo 2
Para cada ponto
considere seu vetor de paridades
onde cada coordenada vale
ou
. Há exatamente
possíveis vetores de paridade no espaço.
Passo 3
Como temos 9 pontos e apenas 8 classes de paridade, pelo Princípio da Casa dos Pombos existem dois índices
tais que
Passo 4
Para esses dois pontos,
,
e
são números pares. Logo cada coordenada do ponto médio
é um número inteiro.
Resposta
Portanto, entre os nove pontos há sempre pelo menos um par cujo ponto médio tem coordenadas inteiras.