11.2 O movimento de uma partícula é definido pela relação x=12 t^{3}-18 t^{2} +2 t+5, onde x e t são expressos em metros e segundos, respectivamente. Determine a posição e a velocidade quando a aceleração for igual a zero.

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula em função do tempo
x(t)=12\,t^{3}-18\,t^{2}+2\,t+5
e pede a posição e a velocidade no instante em que a aceleração é zero. Para isso, vamos precisar calcular a velocidade v(t)=x'(t) e a aceleração a(t)=x''(t), encontrar o instante t tal que a(t)=0 e, em seguida, avaliar x(t) e v(t) nesse t.

Passo 2

Derivando x(t) em relação a t, obtemos
v(t)=x'(t)=36\,t^{2}-36\,t+2
e derivando novamente, a aceleração é
a(t)=x''(t)=72\,t-36.

Passo 3

Para achar o instante em que a(t)=0, resolvemos
72\,t-36=0
t=\frac{36}{72}=0,5\\ \text{(s)}.

Passo 4

Agora, avaliamos x(t) e v(t) em t=0,5.
Para a posição:
x(0,5)=12\cdot(0,5)^{3}-18\cdot(0,5)^{2}+2\cdot(0,5)+5 =1,5-4,5+1+5=3\\ \text{m}.
Para a velocidade:
v(0,5)=36\cdot(0,5)^{2}-36\cdot(0,5)+2 =9-18+2=-7\\ \text{m/s}.

Resposta

A posição é 3 m e a velocidade é -7 m/s quando a aceleração é zero.

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