1.11* A posição de uma partícula em movimento é dada como uma função do tempo por
onde
e
são constantes. Descreva a órbita da partícula.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula como função do tempo:
onde
,
e
são constantes. A pergunta é: descrever a órbita da partícula — ou seja, determinar a forma geométrica do caminho (e comentar sentido de percorre‑lo, período e casos especiais, se houver).
Passo 2
Escrevo as componentes escalares da posição (isso facilita trabalhar com a geometria do trajeto):
Aqui
é a coordenada na direção
e
é a coordenada na direção
.
Passo 3
Vou eliminar o parâmetro
para obter a equação do lugar geométrico no plano
. Divido
por
e
por
, em seguida elevo ao quadrado e somo:
Usando a identidade trigonométrica básica
, obtemos
Passo 4
Interpreto essa equação:
é a equação de uma elipse centrada na origem. Os semieixos da elipse são:
- semieixo ao longo do eixo
: , - semieixo ao longo do eixo
: .
O comprimento total dos eixos é(eixo horizontal) e (eixo vertical). Se a elipse vira um círculo de raio .
Passo 5
Agora defino a velocidade para saber o sentido do movimento. Derivo
em relação a
:
Avalio em
:
A posição inicial (em
) é
. Portanto a partícula começa em
e, se
, inicialmente se desloca no sentido positivo de
— isto é, entra no primeiro quadrante. Isso corresponde a um movimento no sentido anti‑horário quando
e
. Se
o sentido é invertido (horário). Em resumo: o sinal de
(e o sinal de
se este puder ser negativo) determina o sentido de percorre‑lo.
Passo 6
Calculo o período do movimento. Como
e
têm período
em
, o período em
é
Ou seja, a partícula percorre a elipse inteira em tempo
.
Passo 7
Comento rapidamente casos especiais úteis para a prova:
- Se
(e ambos não nulos) a equação fica , uma circunferência de raio . - Se
a trajetória é o segmento de reta reduzido a com (na prática a partícula oscila no eixo ). - Se
análogo, oscila sobre o eixo . - Se algum dos parâmetros for negativo, o conjunto dos pontos da elipse não muda (apenas há uma mudança de fase/sinal nas componentes), então geometricamente continua sendo a mesma elipse com semieixos
, .
Passo 8
Recapitulo de forma direta e prática (o que é útil na prova): escreva as componentes, elimine
com a identidade trigonométrica para chegar à equação da elipse, avalie a velocidade inicial para obter o sentido (usar o sinal de
) e calcule
para o período.
Resposta
A órbita é uma elipse centrada na origem com equação
, semieixos
(eixo
) e
(eixo
); o movimento é periódico com período
e é percorrido no sentido anti‑horário se
(inverso se
).