1.11* A posição de uma partícula em movimento é dada como uma função do tempo por
\mathbf{r}(t)=\hat{\mathbf{x}} b \cos (\omega t)+\hat{\mathbf{y}} c \operatorname{sen}(\omega t)
onde b, c e \omega são constantes. Descreva a órbita da partícula.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula como função do tempo:
\mathbf{r}(t)=\hat{\mathbf{x}}\, b\cos(\omega t)+\hat{\mathbf{y}}\, c\sin(\omega t)
onde b, c e \omega são constantes. A pergunta é: descrever a órbita da partícula — ou seja, determinar a forma geométrica do caminho (e comentar sentido de percorre‑lo, período e casos especiais, se houver).

Passo 2

Escrevo as componentes escalares da posição (isso facilita trabalhar com a geometria do trajeto):
x(t)=b\cos(\omega t),\qquad y(t)=c\sin(\omega t).
Aqui x(t) é a coordenada na direção \hat{\mathbf{x}} e y(t) é a coordenada na direção \hat{\mathbf{y}}.

Passo 3

Vou eliminar o parâmetro t para obter a equação do lugar geométrico no plano xy. Divido x(t) por b e y(t) por c, em seguida elevo ao quadrado e somo:
\left(\frac{x(t)}{b}\right)^2+\left(\frac{y(t)}{c}\right)^2=\cos^2(\omega t)+\sin^2(\omega t).
Usando a identidade trigonométrica básica \cos^2\theta+\sin^2\theta=1, obtemos
\left(\frac{x}{b}\right)^2+\left(\frac{y}{c}\right)^2=1.

Passo 4

Interpreto essa equação: \left(\tfrac{x}{b}\right)^2+\left(\tfrac{y}{c}\right)^2=1 é a equação de uma elipse centrada na origem. Os semieixos da elipse são:
  • semieixo ao longo do eixo x: |b|,
  • semieixo ao longo do eixo y: |c|.
    O comprimento total dos eixos é 2|b| (eixo horizontal) e 2|c| (eixo vertical). Se |b|=|c| a elipse vira um círculo de raio |b|.

Passo 5

Agora defino a velocidade para saber o sentido do movimento. Derivo \mathbf{r}(t) em relação a t:
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\hat{\mathbf{x}}\left(-b\omega\sin(\omega t)\right)+\hat{\mathbf{y}}\left(c\omega\cos(\omega t)\right).
Avalio em t=0:
\mathbf{v}(0)=\hat{\mathbf{x}}\cdot 0+\hat{\mathbf{y}}\cdot(c\omega)=c\omega\,\hat{\mathbf{y}}.
A posição inicial (em t=0) é \mathbf{r}(0)=\hat{\mathbf{x}}\,b. Portanto a partícula começa em (b,0) e, se c\omega>0, inicialmente se desloca no sentido positivo de y — isto é, entra no primeiro quadrante. Isso corresponde a um movimento no sentido anti‑horário quando \omega>0 e c>0. Se \omega<0 o sentido é invertido (horário). Em resumo: o sinal de \omega (e o sinal de c se este puder ser negativo) determina o sentido de percorre‑lo.

Passo 6

Calculo o período do movimento. Como \cos(\omega t) e \sin(\omega t) têm período 2\pi em \omega t, o período em t é
T=\frac{2\pi}{|\omega|}.
Ou seja, a partícula percorre a elipse inteira em tempo T.

Passo 7

Comento rapidamente casos especiais úteis para a prova:
  • Se b=c (e ambos não nulos) a equação fica \tfrac{x^2+y^2}{b^2}=1, uma circunferência de raio |b|.
  • Se b=0 a trajetória é o segmento de reta \tfrac{y^2}{c^2}=1 reduzido a x=0 com y=\pm c (na prática a partícula oscila no eixo y).
  • Se c=0 análogo, oscila sobre o eixo x.
  • Se algum dos parâmetros for negativo, o conjunto dos pontos da elipse não muda (apenas há uma mudança de fase/sinal nas componentes), então geometricamente continua sendo a mesma elipse com semieixos |b|, |c|.

Passo 8

Recapitulo de forma direta e prática (o que é útil na prova): escreva as componentes, elimine t com a identidade trigonométrica para chegar à equação da elipse, avalie a velocidade inicial para obter o sentido (usar o sinal de \omega) e calcule T=2\pi/|\omega| para o período.

Resposta

A órbita é uma elipse centrada na origem com equação \left(\dfrac{x}{b}\right)^2+\left(\dfrac{y}{c}\right)^2=1, semieixos |b| (eixo x) e |c| (eixo y); o movimento é periódico com período T=\dfrac{2\pi}{|\omega|} e é percorrido no sentido anti‑horário se \omega>0 (inverso se \omega<0).

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