1.40*** Um canhão atira uma bola com um ângulo
acima do solo horizontal. (a) Desprezando a resistência do ar, use a segunda lei de Newton para determinar a posição da bola como função do tempo. (Use os eixos com
medido horizontalmente
verticalmente.) (b) Seja
a distância da bola a partir do canhão. Qual é o maior valor possível de
se
cresce durante o voo da bola? [Sugestão: usando a solução do item (a), você pode escrever
como
e então determinar a condição de que
esteja sempre crescendo.]
Passo 1
O enunciado: um canhão lança uma bola com ângulo
acima do solo horizontal. Desprezando a resistência do ar, pede-se: (a) determinar a posição da bola em função do tempo usando a segunda lei de Newton; (b) seja
a distância da bola ao canhão — qual é o maior valor possível de
se
cresce durante todo o voo?\n\nInformações e hipóteses fornecidas e que vamos usar explicitamente:\n- Desprezamos resistência do ar.\n- Eixos:
horizontal,
vertical (positivo para cima).\n- A gravidade é
dirigida para baixo (constante).\n- Vamos chamar a velocidade inicial de
e assumir que a posição inicial é a origem:
e a velocidade inicial é
.\n- A bola voa desde
até o instante de impacto com o solo (tempo de voo que chamaremos de
).\n\nO item (a) pede a posição
(ou o vetor
).\nO item (b) pede o maior
tal que
esteja sempre crescendo (isto é,
durante o voo).\n\nA resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Aplicando a segunda lei de Newton em forma vetorial: a única força é o peso
. Assim,\n
\nAqui
é a aceleração (vetor),
a massa (cancela), e
é a aceleração gravitacional. Isso significa que a aceleração tem componente nula em
e componente
em
.
Passo 3
Para achar velocidade como função do tempo integramos a aceleração. Como
, integrando em
obtemos a velocidade\n
\nExplicação: a componente horizontal não tem aceleração, portanto a velocidade horizontal é constante igual a
. A componente vertical começa em
e diminui linearmente com taxa
.
Passo 4
Agora integramos a velocidade para obter a posição. Integrando
com condição inicial
temos as componentes:\n
\n
\nDetalhe: ao integrar
apareceria
; usamos a condição
para eliminar constantes de integração.
Passo 5
Escrevendo em forma vetorial a posição é\n
\nTempo de voo (instante em que a bola volta ao solo
, com
) satisfaz\n
Passo 6
Parte (b): queremos que a distância ao canhão
cresça durante todo o voo, isto é
para
.\nPara trabalhar com derivadas é conveniente usar
. Compute a derivada de
:\n
\nComo
para
, o sinal de
é o mesmo do sinal de
. Logo condição equivalente:\n
Passo 7
Substituímos as expressões que temos:\n
\n
\nAgora calcule
:\n
\n
\nExpandindo
passo a passo:\n
\nSomando com
e recolhendo termos com potências de
:\n
\nObserve que usei
.
Passo 8
Fatorando
(note que para
temos
), obtemos\n
\nComo
, a condição
equivale a exigir que a função quadrática\n
\seja não negativa para todo
.
Passo 9
A função
é um polinômio quadrático com coeficiente de
positivo
, logo tem um mínimo. A abscissa do mínimo é\n
\nComparando com o tempo de voo
vemos que\n
\nportanto
está dentro do intervalo
. Assim a condição
em
reduz-se a
(basta checar o valor mínimo).
Passo 10
Calculemos
. Substituindo
em
:\n
\nSimplificando cada termo:\n- Segundo termo:
\n- Terceiro termo:
\nLogo\n
\nPara que
precisamos de\n
Passo 11
Da desigualdade
e considerando
(ângulo entre
e
), obtemos o maior ângulo permitido quando a desigualdade é válida como igualdade:\n
\nPortanto\n
\nValor numérico aproximado (para referência):
. Isso significa que, se
for maior que esse valor, em algum instante durante o voo a distância ao canhão deixa de crescer.