1.40*** Um canhão atira uma bola com um ângulo \theta acima do solo horizontal. (a) Desprezando a resistência do ar, use a segunda lei de Newton para determinar a posição da bola como função do tempo. (Use os eixos com x medido horizontalmente y verticalmente.) (b) Seja
r(t) a distância da bola a partir do canhão. Qual é o maior valor possível de \theta se r(t) cresce durante o voo da bola? [Sugestão: usando a solução do item (a), você pode escrever r^{2} como x^{2}+y^{2} e então determinar a condição de que r^{2} esteja sempre crescendo.]

Passo 1

O enunciado: um canhão lança uma bola com ângulo \theta acima do solo horizontal. Desprezando a resistência do ar, pede-se: (a) determinar a posição da bola em função do tempo usando a segunda lei de Newton; (b) seja r(t) a distância da bola ao canhão — qual é o maior valor possível de \theta se r(t) cresce durante todo o voo?\n\nInformações e hipóteses fornecidas e que vamos usar explicitamente:\n- Desprezamos resistência do ar.\n- Eixos: x horizontal, y vertical (positivo para cima).\n- A gravidade é g dirigida para baixo (constante).\n- Vamos chamar a velocidade inicial de \;v_0\; e assumir que a posição inicial é a origem: \;r(0)=0\; e a velocidade inicial é \;v(0)=v_0(\cos\theta\,\mathbf{i}+\sin\theta\,\mathbf{j}).\n- A bola voa desde t=0 até o instante de impacto com o solo (tempo de voo que chamaremos de T).\n\nO item (a) pede a posição \;x(t),y(t)\; (ou o vetor \;r(t)\;).\nO item (b) pede o maior \theta tal que \;r(t)\; esteja sempre crescendo (isto é, \;r'(t)\ge 0\; durante o voo).\n\nA resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Aplicando a segunda lei de Newton em forma vetorial: a única força é o peso \;m\mathbf{g}=-mg\,\mathbf{j}\;. Assim,\n m\mathbf{a}= -m g\,\mathbf{j}\quad\Longrightarrow\quad \mathbf{a}= -g\,\mathbf{j}.\nAqui \mathbf{a} é a aceleração (vetor), m a massa (cancela), e g>0 é a aceleração gravitacional. Isso significa que a aceleração tem componente nula em x e componente -g em y.

Passo 3

Para achar velocidade como função do tempo integramos a aceleração. Como \mathbf{a}=(0,-g), integrando em t obtemos a velocidade\n \mathbf{v}(t)=\mathbf{v}(0)+\int_0^t\mathbf{a}\,dt=\;v_0\cos\theta\,\mathbf{i}+\big(v_0\sin\theta - g t\big)\,\mathbf{j}.\nExplicação: a componente horizontal não tem aceleração, portanto a velocidade horizontal é constante igual a \;v_0\cos\theta\;. A componente vertical começa em \;v_0\sin\theta\; e diminui linearmente com taxa g.

Passo 4

Agora integramos a velocidade para obter a posição. Integrando \mathbf{v}(t) com condição inicial \mathbf{r}(0)=0 temos as componentes:\n x(t)=\int_0^t v_0\cos\theta\,dt = v_0\cos\theta\;t,\n y(t)=\int_0^t\big(v_0\sin\theta - g t\big)\,dt = v_0\sin\theta\;t - \frac{1}{2}g t^2.\nDetalhe: ao integrar -g t apareceria -\tfrac{1}{2}g t^2; usamos a condição y(0)=0 para eliminar constantes de integração.

Passo 5

Escrevendo em forma vetorial a posição é\n \mathbf{r}(t)=x(t)\,\mathbf{i}+y(t)\,\mathbf{j} = v_0\cos\theta\;t\,\mathbf{i}+\Big(v_0\sin\theta\;t-\frac{1}{2}g t^2\Big)\,\mathbf{j}.\nTempo de voo (instante em que a bola volta ao solo y(T)=0, com T>0) satisfaz\n v_0\sin\theta\;T-\frac{1}{2}gT^2=0\quad\Longrightarrow\quad T=\frac{2v_0\sin\theta}{g}.

Passo 6

Parte (b): queremos que a distância ao canhão \;r(t)=\sqrt{x(t)^2+y(t)^2}\; cresça durante todo o voo, isto é \;r'(t)\ge 0\; para 0<t<T.\nPara trabalhar com derivadas é conveniente usar r^2. Compute a derivada de r^2:\n \frac{d}{dt}\big(r^2\big)=\frac{d}{dt}\big(x^2+y^2\big)=2x x'+2y y'=2\big(x x'+y y'\big).\nComo r>0 para t\in(0,T), o sinal de r' é o mesmo do sinal de x x'+y y'. Logo condição equivalente:\n x x'+y y' \ge 0\quad\text{para todo }t\in(0,T).

Passo 7

Substituímos as expressões que temos:\n x(t)=v_0\cos\theta\,t,\qquad x'(t)=v_0\cos\theta,\n y(t)=v_0\sin\theta\,t-\frac{1}{2}g t^2,\qquad y'(t)=v_0\sin\theta - g t.\nAgora calcule x x'+y y':\n x x' = v_0^2\cos^2\theta\;t,\n y y' = \big(v_0\sin\theta\,t-\tfrac{1}{2}g t^2\big)\big(v_0\sin\theta - g t\big).\nExpandindo y y' passo a passo:\n y y' = v_0^2\sin^2\theta\;t -\frac{1}{2}g v_0\sin\theta\;t^2 - g v_0\sin\theta\;t^2 + \frac{1}{2}g^2 t^3.\nSomando com x x' e recolhendo termos com potências de t:\n x x'+y y' = v_0^2 t - \frac{3}{2}g v_0\sin\theta\;t^2 + \frac{1}{2}g^2 t^3.\nObserve que usei v_0^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=v_0^2.

Passo 8

Fatorando t (note que para t\in(0,T) temos t>0), obtemos\n x x'+y y' = t\Big(v_0^2 - \frac{3}{2}g v_0\sin\theta\;t + \frac{1}{2}g^2 t^2\Big).\nComo t>0, a condição x x'+y y'\ge 0 equivale a exigir que a função quadrática\n f(t)=v_0^2 - \frac{3}{2}g v_0\sin\theta\;t + \frac{1}{2}g^2 t^2\seja não negativa para todo t\in(0,T).

Passo 9

A função f(t) é um polinômio quadrático com coeficiente de t^2 positivo \big(\frac{1}{2}g^2>0\big), logo tem um mínimo. A abscissa do mínimo é\n t^*=\frac{-b}{2a}=\frac{\frac{3}{2}g v_0\sin\theta}{2\cdot\frac{1}{2}g^2}=\frac{3v_0\sin\theta}{2g}.\nComparando com o tempo de voo T=\dfrac{2v_0\sin\theta}{g} vemos que\n \frac{t^*}{T}=\frac{3v_0\sin\theta/(2g)}{2v_0\sin\theta/g}=\frac{3}{4},\nportanto t^* está dentro do intervalo (0,T). Assim a condição f(t)\ge 0 em (0,T) reduz-se a f(t^*)\ge 0 (basta checar o valor mínimo).

Passo 10

Calculemos f(t^*). Substituindo t^*=\dfrac{3v_0\sin\theta}{2g} em f(t):\n f(t^*)=v_0^2 - \frac{3}{2}g v_0\sin\theta\cdot\frac{3v_0\sin\theta}{2g} + \frac{1}{2}g^2\cdot\frac{9v_0^2\sin^2\theta}{4g^2}.\nSimplificando cada termo:\n- Segundo termo: \dfrac{3}{2}g v_0\sin\theta\cdot\dfrac{3v_0\sin\theta}{2g}=\dfrac{9}{4}v_0^2\sin^2\theta.\n- Terceiro termo: \dfrac{1}{2}g^2\cdot\dfrac{9v_0^2\sin^2\theta}{4g^2}=\dfrac{9}{8}v_0^2\sin^2\theta.\nLogo\n f(t^*)=v_0^2-\frac{9}{4}v_0^2\sin^2\theta+\frac{9}{8}v_0^2\sin^2\theta = v_0^2\Big(1-\frac{9}{8}\sin^2\theta\Big).\nPara que f(t^*)\ge 0 precisamos de\n 1-\frac{9}{8}\sin^2\theta \ge 0\quad\Longrightarrow\quad \sin^2\theta \le \frac{8}{9}.

Passo 11

Da desigualdade \sin^2\theta\le \dfrac{8}{9} e considerando 0\le\theta\le \dfrac{\pi}{2} (ângulo entre 0 e 90^\circ), obtemos o maior ângulo permitido quando a desigualdade é válida como igualdade:\n \sin\theta_{\max}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.\nPortanto\n \theta_{\max}=\arcsin\!\Big(\frac{2\sqrt{2}}{3}\Big).\nValor numérico aproximado (para referência): \theta_{\max}\approx 70{,}53^\circ. Isso significa que, se \theta for maior que esse valor, em algum instante durante o voo a distância ao canhão deixa de crescer.

Resposta

\mathbf{r}(t)=v_0\cos\theta\;t\,\mathbf{i}+\Big(v_0\sin\theta\;t-\dfrac{1}{2}g t^2\Big)\,\mathbf{j}.\n \displaystyle \theta_{\max}=\arcsin\!\Big(\frac{2\sqrt{2}}{3}\Big)\approx 70{,}53^\circ

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