1.43* (a) Mostre que o vetor unitário
das coordenadas polares bidimensionais é igual a
e determine uma expressão correspondente para
. (b) Assumindo que
depende do tempo
, derive as suas respostas do item (a) para gerar uma demonstração alternativa dos resultados (1.42) e (1.46) para as derivadas temporais de $\hat{\mathbf{r}} \mathrm{e} \hat{\boldsymbol{\varphi}}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) mostrar que o vetor unitário radial
nas coordenadas polares bidimensionais é
e determinar uma expressão correspondente para
; (b) assumindo que
depende do tempo
, derivar temporalmente
e
para obter as fórmulas para
e
.\n\nInformações e hipóteses que vamos usar (tudo dado ou padrão em coordenadas polares/cartesianas):
e
são vetores unitários cartesianos constantes e ortonormais; a posição de um ponto em polares é dada por
(aqui
é a distância radial e
o ângulo). A derivação temporal usará a regra da cadeia quando
.
Passo 2
Motivação e definição de
. O vetor unitário radial
aponta na direção do vetor posição
e tem magnitude
. Uma forma direta de obtê-lo é normalizar
:
Para um ponto com coordenadas polares
temos a representação em cartesianas
Como
(assumindo
), ao dividir por
obtemos
Comentário didático: a operação foi simplesmente cancelar o fator radial
. Se
a direção é indefinida, mas em todo ponto com
a expressão vale.
Passo 3
Encontrando
pela condição de ortogonalidade e orientação. Por definição,
é um vetor unitário ortogonal a
e apontado na direção de aumento de
(no sentido anti-horário). Uma maneira natural de obtê-lo é derivar
em relação a
(pois variar
gira a direção radial):
Esse vetor tem magnitude
(pode conferir) e é ortogonal a
; portanto ele coincide com
. Assim
Verificação rápida (didática): calcule o produto escalar
e a norma
logo está tudo consistente.
Passo 4
Derivada temporal de
usando regra da cadeia. Agora assumimos
. Note que
depende de
apenas através de
. A regra da cadeia diz que, para uma função vetorial
,
onde
. Aplicando a
obtemos
Já calculamos a derivada em
no passo anterior; é exatamente
. Portanto
Interpretação física/geométrica (didática): quando
aumenta, o vetor radial gira; a velocidade angular
multiplica a direção tangencial
.
Passo 5
Derivada temporal de
. Da mesma forma,
depende de
só via
. Usando regra da cadeia:
Calcule a derivada em relação a
:
Reconhecemos no lado direito o negativo de
, pois
. Assim
Significado: quando o sistema gira, a direção tangencial muda apontando parcialmente para o negativo da direção radial com intensidade proporcional a
.
Passo 6
Pequena verificação de consistência (didática e tranquilizadora). Como
vale para todo
, derivando isso em relação a
obtemos
, então
é orthogonal a
. Da expressão
isso fica evidente, porque
é ortogonal a
. Similarmente para
. Também, colocando um exemplo concreto, se
(rotação uniforme) temos
e
, que é um círculo perfeito — faz sentido físico.