1.43* (a) Mostre que o vetor unitário \hat{\mathbf{r}} das coordenadas polares bidimensionais é igual a
\hat{\mathbf{r}}=\hat{\mathbf{x}} \cos \varphi+\hat{\mathbf{y}} \operatorname{sen} \varphi
e determine uma expressão correspondente para \hat{\boldsymbol{\varphi}}. (b) Assumindo que \varphi depende do tempo t, derive as suas respostas do item (a) para gerar uma demonstração alternativa dos resultados (1.42) e (1.46) para as derivadas temporais de $\hat{\mathbf{r}} \mathrm{e} \hat{\boldsymbol{\varphi}}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) mostrar que o vetor unitário radial \hat{\mathbf{r}} nas coordenadas polares bidimensionais é
\hat{\mathbf{r}}=\hat{\mathbf{x}}\cos\varphi+\hat{\mathbf{y}}\sin\varphi
e determinar uma expressão correspondente para \hat{\boldsymbol{\varphi}}; (b) assumindo que \varphi depende do tempo t, derivar temporalmente \hat{\mathbf{r}} e \hat{\boldsymbol{\varphi}} para obter as fórmulas para \dfrac{d}{dt}\hat{\mathbf{r}} e \dfrac{d}{dt}\hat{\boldsymbol{\varphi}}.\n\nInformações e hipóteses que vamos usar (tudo dado ou padrão em coordenadas polares/cartesianas): \hat{\mathbf{x}} e \hat{\mathbf{y}} são vetores unitários cartesianos constantes e ortonormais; a posição de um ponto em polares é dada por \mathbf{r}=r\cos\varphi\,\hat{\mathbf{x}}+r\sin\varphi\,\hat{\mathbf{y}} (aqui \,r é a distância radial e \varphi o ângulo). A derivação temporal usará a regra da cadeia quando \varphi=\varphi(t).

Passo 2

Motivação e definição de \hat{\mathbf{r}}. O vetor unitário radial \hat{\mathbf{r}} aponta na direção do vetor posição \mathbf{r} e tem magnitude 1. Uma forma direta de obtê-lo é normalizar \mathbf{r}:
\hat{\mathbf{r}}=\frac{\mathbf{r}}{\|\mathbf{r}\|}.
Para um ponto com coordenadas polares (r,\varphi) temos a representação em cartesianas
\mathbf{r}=r\cos\varphi\,\hat{\mathbf{x}}+r\sin\varphi\,\hat{\mathbf{y}}.
Como \|\mathbf{r}\|=r (assumindo r>0), ao dividir por r obtemos
\hat{\mathbf{r}}=\frac{\mathbf{r}}{r}=\hat{\mathbf{x}}\cos\varphi+\hat{\mathbf{y}}\sin\varphi.
Comentário didático: a operação foi simplesmente cancelar o fator radial r. Se r=0 a direção é indefinida, mas em todo ponto com r>0 a expressão vale.

Passo 3

Encontrando \hat{\boldsymbol{\varphi}} pela condição de ortogonalidade e orientação. Por definição, \hat{\boldsymbol{\varphi}} é um vetor unitário ortogonal a \hat{\mathbf{r}} e apontado na direção de aumento de \varphi (no sentido anti-horário). Uma maneira natural de obtê-lo é derivar \hat{\mathbf{r}} em relação a \varphi (pois variar \varphi gira a direção radial):
\frac{\partial}{\partial\varphi}\hat{\mathbf{r}}=\frac{\partial}{\partial\varphi}\bigl(\hat{\mathbf{x}}\cos\varphi+\hat{\mathbf{y}}\sin\varphi\bigr)=-\hat{\mathbf{x}}\sin\varphi+\hat{\mathbf{y}}\cos\varphi.
Esse vetor tem magnitude 1 (pode conferir) e é ortogonal a \hat{\mathbf{r}}; portanto ele coincide com \hat{\boldsymbol{\varphi}}. Assim
\hat{\boldsymbol{\varphi}}=-\hat{\mathbf{x}}\sin\varphi+\hat{\mathbf{y}}\cos\varphi.
Verificação rápida (didática): calcule o produto escalar
\hat{\mathbf{r}}\cdot\hat{\boldsymbol{\varphi}}=(\cos\varphi)(-\sin\varphi)+(\sin\varphi)(\cos\varphi)=0,
e a norma
\|\hat{\boldsymbol{\varphi}}\|^{2}=(-\sin\varphi)^{2}+(\cos\varphi)^{2}=1,
logo está tudo consistente.

Passo 4

Derivada temporal de \hat{\mathbf{r}} usando regra da cadeia. Agora assumimos \varphi=\varphi(t). Note que \hat{\mathbf{r}} depende de t apenas através de \varphi(t). A regra da cadeia diz que, para uma função vetorial f(\varphi(t)),
\frac{d}{dt}f(\varphi(t))=\frac{df}{d\varphi}\,\dot{\varphi},
onde \dot{\varphi}=\dfrac{d\varphi}{dt}. Aplicando a \hat{\mathbf{r}}=\hat{\mathbf{x}}\cos\varphi+\hat{\mathbf{y}}\sin\varphi obtemos
\frac{d}{dt}\hat{\mathbf{r}}=\left(\frac{d}{d\varphi}\bigl(\hat{\mathbf{x}}\cos\varphi+\hat{\mathbf{y}}\sin\varphi\bigr)\right)\dot{\varphi}.
Já calculamos a derivada em \varphi no passo anterior; é exatamente \hat{\boldsymbol{\varphi}}. Portanto
\frac{d}{dt}\hat{\mathbf{r}}=\dot{\varphi}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}.
Interpretação física/geométrica (didática): quando \varphi aumenta, o vetor radial gira; a velocidade angular \dot{\varphi} multiplica a direção tangencial \hat{\boldsymbol{\varphi}}.

Passo 5

Derivada temporal de \hat{\boldsymbol{\varphi}}. Da mesma forma, \hat{\boldsymbol{\varphi}} depende de t só via \varphi(t). Usando regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\hat{\boldsymbol{\varphi}}=\frac{d}{d\varphi}\bigl(-\hat{\mathbf{x}}\sin\varphi+\hat{\mathbf{y}}\cos\varphi\bigr)\,\dot{\varphi}.
Calcule a derivada em relação a \varphi:
\frac{d}{d\varphi}\bigl(-\hat{\mathbf{x}}\sin\varphi+\hat{\mathbf{y}}\cos\varphi\bigr)=-\hat{\mathbf{x}}\cos\varphi-\hat{\mathbf{y}}\sin\varphi.
Reconhecemos no lado direito o negativo de \hat{\mathbf{r}}, pois \hat{\mathbf{r}}=\hat{\mathbf{x}}\cos\varphi+\hat{\mathbf{y}}\sin\varphi. Assim
\frac{d}{dt}\hat{\boldsymbol{\varphi}}=-\dot{\varphi}\,\hat{\mathbf{r}}.
Significado: quando o sistema gira, a direção tangencial muda apontando parcialmente para o negativo da direção radial com intensidade proporcional a \dot{\varphi}.

Passo 6

Pequena verificação de consistência (didática e tranquilizadora). Como \hat{\mathbf{r}}\cdot\hat{\mathbf{r}}=1 vale para todo t, derivando isso em relação a t obtemos 2\,\hat{\mathbf{r}}\cdot\dfrac{d}{dt}\hat{\mathbf{r}}=0, então \dfrac{d}{dt}\hat{\mathbf{r}} é orthogonal a \hat{\mathbf{r}}. Da expressão \dfrac{d}{dt}\hat{\mathbf{r}}=\dot{\varphi}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}} isso fica evidente, porque \hat{\boldsymbol{\varphi}} é ortogonal a \hat{\mathbf{r}}. Similarmente para \hat{\boldsymbol{\varphi}}. Também, colocando um exemplo concreto, se \varphi(t)=\omega t (rotação uniforme) temos \dfrac{d}{dt}\hat{\mathbf{r}}=\omega\hat{\boldsymbol{\varphi}} e \dfrac{d}{dt}\hat{\boldsymbol{\varphi}}=-\omega\hat{\mathbf{r}}, que é um círculo perfeito — faz sentido físico.

Resposta

\hat{\mathbf{r}}=\hat{\mathbf{x}}\cos\varphi+\hat{\mathbf{y}}\sin\varphi, \hat{\boldsymbol{\varphi}}=-\hat{\mathbf{x}}\sin\varphi+\hat{\mathbf{y}}\cos\varphi\n
\dfrac{d}{dt}\hat{\mathbf{r}}=\dot{\varphi}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}, \dfrac{d}{dt}\hat{\boldsymbol{\varphi}}=-\dot{\varphi}\,\hat{\mathbf{r}}

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