11 ^ a Questão: Calcular os seguintes limites, usando as regras de L’Hospital:
lim x 1[1ln x-1x-1]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto1l(1ln x-1x-1r)
O conteúdo usado será a Regra de L’Hospital aplicada a uma forma indeterminada 0/0.

Passo 2

Primeiro unimos as frações:
1ln x-1x-1 =(x-1)-ln x(x-1),ln x
Quando xto1, o numerador (x-1)-ln xto0 e o denominador (x-1)ln xto0, logo temos indeterminação 0/0.

Passo 3

Aplicamos L’Hospital diferenciando numerador e denominador:
seja
f(x)=(x-1)-ln x, g(x)=(x-1)ln x
Então
f'(x)=1-1x=x-1x, g'(x)=ln x+x-1x
Pelo L’Hospital,
limxto1f(x)g(x) =limxto1f'(x)g'(x) =limxto1x-1xln x+x-1x

Passo 4

Ao avaliar este quociente em x=1 obtemos de novo 0/0, pois
tfracx-1x|x=1=0 e ln1+(1-1)/1=0.
Portanto aplicamos L’Hospital pela segunda vez.

Passo 5

Calculamos as segundas derivadas:
f''(x)=ddxl(x-1xr)=1x^2, g''(x)=ddxl(ln x+x-1xr) =1x+1x^2
Pela regra,
limxto1f'(x)g'(x) =limxto1f''(x)g''(x) =limxto1tfrac1x^2tfrac1x+tfrac1x^2

Passo 6

Agora basta substituir x=1:
tfrac11^2tfrac11+tfrac11^2 =11+1 =12

Resposta

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