Questão 3 [exu-3]. Considere o problema de valor inicial
Entre as opções a seguir, qual delas contém apenas pontos onde se pode garantir a existência de uma única solução
do problema de valor inicial?
T
.
d)
.
b)
.
e
.
c)
.
f)
.
d)
b)
e
c)
f)
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e pede um conjunto em que exista e seja única a solução
. Aqui usamos o Teorema de Picard–Lindel"of, que garante existência e unicidade se
e
forem contínuas num domínio aberto que contenha o ponto inicial.
Passo 2
Determinar o domínio natural de
. Precisamos que:
. O argumento de
seja positivo, ou seja
.
. O denominador
, ou seja
e
.
Portanto
Portanto
Passo 3
Calcular
e ver onde é contínua:
Essa expressão também exige
e
. Como no domínio
temos
, então
já vale. Logo
e
são contínuas em qualquer aberto contido em
.
Passo 4
Agora verificamos qual opção está inteiramente contida em
:
- Opção T:
e . Aqui e não estão em e sempre . Logo T . - Opção d:
e . Inclui , onde não existe. - Opção b:
e . Inclui , onde não está definido. - Opção e:
e . Inclui e , pontos fora de . - Opção c:
e . Inclui (denominador zero) e (logaritmo mal definido). - Opção f:
e . Inclui , onde é singular.
Somente a opção T fica totalmente em
, garantindo existência e unicidade.
Resposta
T