Questão 3 [exu-3]. Considere o problema de valor inicial
l d yd t=(t+5) ln (-y)(t-1)(t-3) y(t0)=y0
Entre as opções a seguir, qual delas contém apenas pontos onde se pode garantir a existência de uma única solução y=y(t) do problema de valor inicial?
T (t, y) in R^2 mid t in(4,5) e y<0.
d) (t, y) in R^2 mid t in(2,+infty) e y<0.
b) (t, y) in R^2 mid t in(-infty, 1 / 2) e y in R.
e (t, y) in R^2 mid t in(-4,1] e y in R.
c) (t, y) in R^2 mid t in(1 / 2,2) e y <= 0.
f) (t, y) in R^2 mid t in(-infty, 2) e y<0.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
dydt=f(t,y)=(t+5)ln(-y)(t-1)(t-3), y(t0)=y0,
e pede um conjunto em que exista e seja única a solução y=y(t). Aqui usamos o Teorema de Picard–Lindel"of, que garante existência e unicidade se f e partial f/partial y forem contínuas num domínio aberto que contenha o ponto inicial.

Passo 2

Determinar o domínio natural de f. Precisamos que:
1. O argumento de ln(-y) seja positivo, ou seja -y>0implies y<0.
2. O denominador (t-1)(t-3)neq0, ou seja tneq1 e tneq3.
Portanto
D=(t,y)mid tneq1,3,;y<0

Passo 3

Calcular partial f/partial y e ver onde é contínua:
partial fpartial y =t+5(t-1)(t-3)cdotddyl[ln(-y)r] =t+5(t-1)(t-3)cdot-1-y =t+5y,(t-1)(t-3)
Essa expressão também exige tneq1,3 e yneq0. Como no domínio D temos y<0, então yneq0 já vale. Logo f e partial f/partial y são contínuas em qualquer aberto contido em D.

Passo 4

Agora verificamos qual opção está inteiramente contida em D:
  • Opção T: tin(4,5) e y<0. Aqui 1 e 3 não estão em (4,5) e sempre y<0. Logo T subset D.
  • Opção d: tin(2,+infty) e y<0. Inclui t=3, onde f não existe.
  • Opção b: tin(-infty,1/2) e yinR. Inclui y>=0, onde ln(-y) não está definido.
  • Opção e: tin(-4,1] e yinR. Inclui t=1 e y>=0, pontos fora de D.
  • Opção c: tin(1/2,2) e y<=0. Inclui t=1 (denominador zero) e y=0 (logaritmo mal definido).
  • Opção f: tin(-infty,2) e y<0. Inclui t=1, onde f é singular.
Somente a opção T fica totalmente em D, garantindo existência e unicidade.

Resposta

T

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