5.11 Um tubo de aço com diâmetro externo de 2,5 pol transmite 35 hp quando gira a 2.700 \mathrm{rev} / \mathrm{min}. Determinar o diâmetro interno d do tubo com aproximação de 1 / 8 \mathrm{pol} se a tensão de cisalhamento admissível é \tau_{\text {adm }}=10 \mathrm{ksi}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Diâmetro externo do tubo: d_o=2,5\\ \mathrm{pol}.
  • Potência transmitida: P=35\\ \mathrm{hp}.
  • Velocidade de rotação: N=2{,}700\\ \mathrm{rev/min}.
  • Tensão de cisalhamento admissível: \tau_{\text{adm}}=10\\ \text{ksi}=10{,}000\\ \mathrm{psi}.
  • Pedido: determinar o diâmetro interno d do tubo, com aproximação de 1/8 pol.
Listei todos os dados relevantes e o que deve ser calculado. A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Ligando potência e torque: para um eixo que gira a N rotações por minuto, a potência P (em \mathrm{hp}) e o torque T (em \mathrm{lbf\cdot in}) satisfazem a relação (derivação rápida: P(\mathrm{hp})=T(\mathrm{lbf\cdot ft})\cdot N/5252, multiplicando por 12 para passar para \mathrm{lbf\cdot in}):
T=\frac{63024\,P}{N}\quad(\mathrm{lbf\cdot in}).
Aqui:
T=\frac{63024\cdot 35}{2700}.
Vou fazer as contas passo a passo:
63024\cdot 35 = 2{,}205{,}840,
T=\frac{2{,}205{,}840}{2700}=816{,}977\ldots\\ \mathrm{lbf\cdot in}.
Arredondando razoavelmente:
T\approx 816{,}98\\ \mathrm{lbf\cdot in}.
Observação rápida (por que usamos essa fórmula): a potência é P=T\omega, com \omega=2\pi N/60. Convertendo unidades chega-se à constante 63024 quando P está em \mathrm{hp}, N em \mathrm{rpm} e T em \mathrm{lbf\cdot in}.

Passo 3

Agora a resistência do tubo à torção. Para uma seção circular tubular a máxima tensão de cisalhamento na parede externa é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,r_o}{J},
onde:
  • T é o torque (já calculado),
  • r_o é o raio externo ( r_o=d_o/2),
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal. Para um tubo com raios externo r_o e interno r_i:
J=\frac{\pi}{2}\left(r_o^4-r_i^4\right).
Substituindo J em \tau_{\max} obtemos
\tau_{\max}=\frac{2T r_o}{\pi\left(r_o^4-r_i^4\right)}.
Queremos que \tau_{\max}\le \tau_{\text{adm}}. Igualando para encontrar o raio interno limite:
r_o^4-r_i^4=\frac{2T r_o}{\pi \tau_{\text{adm}}} \quad\Rightarrow\quad r_i^4=r_o^4-\frac{2T r_o}{\pi \tau_{\text{adm}}}.
Aqui explico cada variável novamante, para ficar claro:
  • r_o: raio externo em polegadas.
  • r_i: raio interno em polegadas (é o que queremos).
  • T: torque em \mathrm{lbf\cdot in}.
  • \tau_{\text{adm}}: tensão admissível em \mathrm{psi}.
  • J: unidade em \mathrm{in}^4.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos:
Primeiro r_o:
r_o=\frac{d_o}{2}=\frac{2{,}5}{2}=1{,}25\\ \mathrm{pol}.
Calcular r_o^4:
r_o^4 = (1{,}25)^4 = 2{,}44140625.
Calcular o termo \dfrac{2T r_o}{\pi \tau_{\text{adm}}}:
2T r_o = 2\cdot 816{,}977\cdot 1{,}25 = 2{,}042{,}44125\\ (\text{aprox.}).
Dividindo por \pi:
\frac{2T r_o}{\pi} \approx \frac{2{,}042{,}44125}{3{,}14159265}\approx 650{,}178\\ (\text{aprox.}).
Agora divide-se por \tau_{\text{adm}}=10{,}000\\ \mathrm{psi}:
\frac{2T r_o}{\pi \tau_{\text{adm}}}\approx \frac{650{,}178}{10{,}000}=0{,}0650178.
Portanto
r_i^4 = 2{,}44140625 - 0{,}0650178 = 2{,}37638845\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Precisamos extrair a quarta raiz para obter r_i. Faço isso em duas etapas (duas raízes quadradas):
Primeira raiz quadrada:
\sqrt{r_i^4}=\sqrt{2{,}37638845}\approx 1{,}541376.
Segunda raiz quadrada:
r_i=\sqrt{1{,}541376}\approx 1{,}241524\\ \mathrm{pol}.
Logo o diâmetro interno é
d=2r_i\approx 2\cdot 1{,}241524=2{,}483048\\ \mathrm{pol}.
Arredondando com um pouco menos de casas decimais:
d\approx 2{,}483\\ \mathrm{pol}.

Passo 6

Agora a aproximação solicitada: aproximar d ao 1/8 de polegada. Um 1/8\\ \mathrm{pol}=0{,}125\\ \mathrm{pol}.
Calculo a fração:
\frac{d-2}{0{,}125}=\frac{2{,}483-2}{0{,}125}=3{,}864.
O inteiro mais próximo é 4, ou seja 4\times 0{,}125=0{,}500. Assim a aproximação ao oitavo mais próximo é
d\approx 2{,}500\\ \mathrm{pol}=2\frac{4}{8}\\ \mathrm{pol}=2\frac{1}{2}\\ \mathrm{pol}.
Observação prática (curtinha): essa aproximação faz d praticamente igual ao diâmetro externo dado; isso significa que, ao arredondar para 1/8 mais próximo, a peça ficaria com parede muito fina. Se precisar de espessura de parede positiva mais prática, pode-se escolher o oitavo imediatamente menor, 2{,}375\\ \mathrm{pol} ( 2\frac{3}{8}\\ \mathrm{pol} ), dependendo de requisitos práticos de fabricação e segurança.

Resposta

d\approx 2{,}483\\ \mathrm{pol}
d\approx 2{,}5\\ \mathrm{pol} (aprox. ao 1/8 pol)

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