5.11 Um tubo de aço com diâmetro externo de 2,5 pol transmite 35 hp quando gira a
. Determinar o diâmetro interno
do tubo com aproximação de
se a tensão de cisalhamento admissível é
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Diâmetro externo do tubo:
. - Potência transmitida:
. - Velocidade de rotação:
. - Tensão de cisalhamento admissível:
. - Pedido: determinar o diâmetro interno
do tubo, com aproximação de pol.
Listei todos os dados relevantes e o que deve ser calculado. A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Ligando potência e torque: para um eixo que gira a
rotações por minuto, a potência
(em
) e o torque
(em
) satisfazem a relação (derivação rápida:
, multiplicando por
para passar para
):
Aqui:
Vou fazer as contas passo a passo:
Arredondando razoavelmente:
Observação rápida (por que usamos essa fórmula): a potência é
, com
. Convertendo unidades chega-se à constante
quando
está em
,
em
e
em
.
Passo 3
Agora a resistência do tubo à torção. Para uma seção circular tubular a máxima tensão de cisalhamento na parede externa é dada por
onde:
-
é o torque (já calculado), -
é o raio externo ( ), -
é o momento polar de inércia da seção transversal. Para um tubo com raios externo e interno :
Substituindo
em
obtemos
Queremos que
. Igualando para encontrar o raio interno limite:
Aqui explico cada variável novamante, para ficar claro:
-
: raio externo em polegadas. -
: raio interno em polegadas (é o que queremos). -
: torque em . -
: tensão admissível em . -
: unidade em .
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos:
Primeiro
:
Calcular
:
Calcular o termo
:
Dividindo por
:
Agora divide-se por
:
Portanto
Passo 5
Precisamos extrair a quarta raiz para obter
. Faço isso em duas etapas (duas raízes quadradas):
Primeira raiz quadrada:
Segunda raiz quadrada:
Logo o diâmetro interno é
Arredondando com um pouco menos de casas decimais:
Passo 6
Agora a aproximação solicitada: aproximar
ao
de polegada. Um
.
Calculo a fração:
O inteiro mais próximo é
, ou seja
. Assim a aproximação ao oitavo mais próximo é
Observação prática (curtinha): essa aproximação faz
praticamente igual ao diâmetro externo dado; isso significa que, ao arredondar para
mais próximo, a peça ficaria com parede muito fina. Se precisar de espessura de parede positiva mais prática, pode-se escolher o oitavo imediatamente menor,
(
), dependendo de requisitos práticos de fabricação e segurança.