5.5 O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens. Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos
e
do eixo. Indicar a tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede (isto é, listar claramente os dados e as perguntas).
- Dado: um eixo maciço de diâmetro
. - Dado implícito: o eixo transmite torques aplicados às engrenagens (o enunciado refere-se a torques em pontos do eixo), mas o(s) valor(es) numérico(s) dos torques não foram fornecidos no texto enviado.
- Pedido: determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos
e do eixo; indicar a tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos.
Observação importante: o enunciado menciona pontos
e
e fala de torques aplicados às engrenagens, portanto a resposta numérica depende de onde (em relação às cargas/engrenagens) estão localizados
e
e de quais são os valores e sentidos dos torques aplicados. Como a figura com as posições dos torques e a localização exata de
e
não foi enviada, não é possível calcular valores numéricos definitivos. A seguir eu mostro passo a passo como se resolve essa questão em qualquer situação e dou as fórmulas finais em função dos torques associados a cada seção; também dou um exemplo numérico ilustrativo.
Passo 2
O que significa “tensão de cisalhamento por torção” e como obtemos o torque interno em uma seção.
- Quando um eixo transmite torque
, cada seção transversal sofre uma distribuição de tensões de cisalhamento que varia com a distância radial ao centro. - O “torque interno” em uma seção é o momento torçor resultante que deve ser equilibrado pelas reações e torques aplicados em um dos lados do corte. Para obter o torque interno numa seção que passa por
(ou ) procede-se assim na prova: - Faz-se um corte imaginário na seção passando pelo ponto de interesse.
- Faz-se o diagrama de corpo livre de uma das partes (por exemplo a parte à esquerda do corte).
- Soma-se algebricamente os torques aplicados nessa parte — o resultado é o torque interno
naquela seção. (Lembre-se de tratar o sentido: torques no mesmo sentido somam, opostos subtraem.)
- Portanto, antes de aplicar a fórmula da tensão, é preciso identificar o torque interno
na seção que contém e na seção que contém . Aqui vou chamar genericamente esses torques de e .
Passo 3
A fórmula fundamental: tensão de cisalhamento por torção em eixo circular maciço.
- Para um eixo circular sólido submetido a um torque
, a tensão de cisalhamento a uma distância radial do centro é
onde:
-
é a tensão de cisalhamento na superfície de raio (unidade: ); -
é o torque interno na seção considerada (unidade: ); -
é o momento polar de inércia da área da seção transversal (unidade: ); -
é a distância radial ao centro (unidade: ). -
Para um eixo maciço circular de diâmetro
(raio ), o momento polar vale
Explanação breve:
para a seção circular e avaliando a integral em coordenadas polares chega-se a essa expressão padrão.
Passo 4
Tensão na superfície (valor máximo) e simplificação útil com
.
- A tensão máxima de cisalhamento ocorre na superfície externa, em
. Substituindo em obtemos:
- Simplificando a fração:
Portanto, para qualquer seção onde o torque interno seja
, a tensão de cisalhamento na superfície (em qualquer ponto da circunferência dessa seção) tem magnitude
Nesta fórmula:
-
é o torque interno naquela seção (por exemplo ou ); -
deve ser em metros para usar SI (no enunciado ).
Passo 5
Expressões específicas para os pontos
e
.
- Denotando por
o torque interno na seção que contém (obtido pela soma algébrica dos torques aplicados numa das partes do eixo) e por o torque interno na seção que contém , as tensões de cisalhamento na superfície nesses pontos são:
- Se
e forem pontos na superfície da mesma seção (lado oposto do diâmetro), então eles têm a mesma magnitude e direções opostas (o vetor de cisalhamento tangencial aponta em sentidos opostos em lados opostos do diâmetro). Se estiverem em seções diferentes, usar e respectivamente.
Passo 6
Comentário sobre o estado de tensões no elemento de volume (descrição física e componentes).
- A torção produz, no interior do eixo, um estado de cisalhamento puro: apenas componentes de cisalhamento tangenciais (em planos radiais e axiais) aparecem; as componentes normais (normais ao eixo) são nulas para torção pura.
- Num pequeno elemento prismático na superfície, as componentes relevantes são as tensões de cisalhamento do tipo
(tangencial em torno do eixo, atuando sobre planos normais ao eixo ). Em linguagem simples: a tensão desliza tangencialmente à circunferência, e a intensidade dessa tensão em é . - Em pontos diametralmente opostos, as tensões têm o mesmo módulo e sentidos opostos.
Passo 7
Exemplo numérico ilustrativo (apenas para ver como aplicar; NÃO é a resposta final ao enunciado porque os torques reais não foram fornecidos).
- Suponha hipoteticamente que numa seção qualquer o torque interno valha
e . Então:
- Isso mostra como usar a fórmula em prática: basta conhecer
nessa seção.
Passo 8
Resumo do procedimento a seguir na prova (passos práticos que tens de fazer diante da figura do enunciado)
- Identificar na figura todas as torques aplicados e seus sentidos.
- Para cada seção que contém
e , fazer o corte e calcular o torque interno e pela soma algébrica dos torques à esquerda (ou à direita) da seção. - Usar
e a fórmula
para obter
e
.
4. Indicar direção do cisalhamento (tangencial) e, se necessário, o sinal (positivo/negativo) conforme o sentido do torque adotado.
4. Indicar direção do cisalhamento (tangencial) e, se necessário, o sinal (positivo/negativo) conforme o sentido do torque adotado.
Resposta
(onde
e
são os torques internos nas seções que contêm
e
, obtidos pela soma algébrica dos torques aplicados à esquerda ou à direita de cada corte; sem os valores ou a figura não é possível dar números.)