5.5 O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens. Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos C e D do eixo. Indicar a tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede (isto é, listar claramente os dados e as perguntas).
  • Dado: um eixo maciço de diâmetro d = 30\\ \text{mm}.
  • Dado implícito: o eixo transmite torques aplicados às engrenagens (o enunciado refere-se a torques em pontos do eixo), mas o(s) valor(es) numérico(s) dos torques não foram fornecidos no texto enviado.
  • Pedido: determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos C e D do eixo; indicar a tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos.
Observação importante: o enunciado menciona pontos C e D e fala de torques aplicados às engrenagens, portanto a resposta numérica depende de onde (em relação às cargas/engrenagens) estão localizados C e D e de quais são os valores e sentidos dos torques aplicados. Como a figura com as posições dos torques e a localização exata de C e D não foi enviada, não é possível calcular valores numéricos definitivos. A seguir eu mostro passo a passo como se resolve essa questão em qualquer situação e dou as fórmulas finais em função dos torques associados a cada seção; também dou um exemplo numérico ilustrativo.

Passo 2

O que significa “tensão de cisalhamento por torção” e como obtemos o torque interno em uma seção.
  • Quando um eixo transmite torque T, cada seção transversal sofre uma distribuição de tensões de cisalhamento que varia com a distância radial r ao centro.
  • O “torque interno” em uma seção é o momento torçor resultante que deve ser equilibrado pelas reações e torques aplicados em um dos lados do corte. Para obter o torque interno numa seção que passa por C (ou D) procede-se assim na prova:
    1. Faz-se um corte imaginário na seção passando pelo ponto de interesse.
    2. Faz-se o diagrama de corpo livre de uma das partes (por exemplo a parte à esquerda do corte).
    3. Soma-se algebricamente os torques aplicados nessa parte — o resultado é o torque interno T_{\text{int}} naquela seção. (Lembre-se de tratar o sentido: torques no mesmo sentido somam, opostos subtraem.)
  • Portanto, antes de aplicar a fórmula da tensão, é preciso identificar o torque interno T_C na seção que contém C e T_D na seção que contém D. Aqui vou chamar genericamente esses torques de T_C e T_D.

Passo 3

A fórmula fundamental: tensão de cisalhamento por torção em eixo circular maciço.
  • Para um eixo circular sólido submetido a um torque T, a tensão de cisalhamento a uma distância radial r do centro é
\tau(r)=\frac{T\,r}{J},
onde:
  • \tau(r) é a tensão de cisalhamento na superfície de raio r (unidade: \text{Pa});
  • T é o torque interno na seção considerada (unidade: \text{N}\cdot\text{m});
  • J é o momento polar de inércia da área da seção transversal (unidade: \text{m}^4);
  • r é a distância radial ao centro (unidade: \text{m}).
  • Para um eixo maciço circular de diâmetro d (raio c=d/2), o momento polar J vale
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
Explanação breve: J=\int_A r^{2}\,dA para a seção circular e avaliando a integral em coordenadas polares chega-se a essa expressão padrão.

Passo 4

Tensão na superfície (valor máximo) e simplificação útil com d.
  • A tensão máxima de cisalhamento ocorre na superfície externa, em r=c=d/2. Substituindo em \tau(r) obtemos:
\tau_{\max}=\tau\text{(c)}=\frac{T\,c}{J}=\frac{T\,(d/2)}{\pi d^{4}/32}.
  • Simplificando a fração:
\tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Portanto, para qualquer seção onde o torque interno seja T, a tensão de cisalhamento na superfície (em qualquer ponto da circunferência dessa seção) tem magnitude
\tau=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Nesta fórmula:
  • T é o torque interno naquela seção (por exemplo T_C ou T_D);
  • d deve ser em metros para usar SI (no enunciado d=30\\ \text{mm}=0,03\\ \text{m}).

Passo 5

Expressões específicas para os pontos C e D.
  • Denotando por T_C o torque interno na seção que contém C (obtido pela soma algébrica dos torques aplicados numa das partes do eixo) e por T_D o torque interno na seção que contém D, as tensões de cisalhamento na superfície nesses pontos são:
\tau_C=\frac{16\,T_C}{\pi d^{3}},\qquad \tau_D=\frac{16\,T_D}{\pi d^{3}}.
  • Se C e D forem pontos na superfície da mesma seção (lado oposto do diâmetro), então eles têm a mesma magnitude |\tau| e direções opostas (o vetor de cisalhamento tangencial aponta em sentidos opostos em lados opostos do diâmetro). Se estiverem em seções diferentes, usar T_C e T_D respectivamente.

Passo 6

Comentário sobre o estado de tensões no elemento de volume (descrição física e componentes).
  • A torção produz, no interior do eixo, um estado de cisalhamento puro: apenas componentes de cisalhamento tangenciais (em planos radiais e axiais) aparecem; as componentes normais (normais ao eixo) são nulas para torção pura.
  • Num pequeno elemento prismático na superfície, as componentes relevantes são as tensões de cisalhamento do tipo \tau_{t z} (tangencial em torno do eixo, atuando sobre planos normais ao eixo z). Em linguagem simples: a tensão desliza tangencialmente à circunferência, e a intensidade dessa tensão em r é \tau(r)=T r/J.
  • Em pontos diametralmente opostos, as tensões têm o mesmo módulo e sentidos opostos.

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo (apenas para ver como aplicar; NÃO é a resposta final ao enunciado porque os torques reais não foram fornecidos).
  • Suponha hipoteticamente que numa seção qualquer o torque interno valha T=100\\ \text{N}\cdot\text{m} e d=30\\ \text{mm}=0,03\\ \text{m}. Então:
d^{3}=(0,03)^{3}=2{,}7\times10^{-5}\\ \text{m}^{3},
\frac{16}{\pi d^{3}}\approx1{,}89\times10^{5}\\ \text{(Pa)/(N}\cdot\text{m)},
\tau=\frac{16T}{\pi d^{3}}\approx1{,}89\times10^{5}\times100=1{,}89\times10^{7}\\ \text{Pa}=18{,}9\\ \text{MPa}.
  • Isso mostra como usar a fórmula em prática: basta conhecer T nessa seção.

Passo 8

Resumo do procedimento a seguir na prova (passos práticos que tens de fazer diante da figura do enunciado)
  1. Identificar na figura todas as torques aplicados e seus sentidos.
  2. Para cada seção que contém C e D, fazer o corte e calcular o torque interno T_C e T_D pela soma algébrica dos torques à esquerda (ou à direita) da seção.
  3. Usar d=0,03\\ \text{m} e a fórmula
\tau=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}
para obter \tau_C e \tau_D.
4. Indicar direção do cisalhamento (tangencial) e, se necessário, o sinal (positivo/negativo) conforme o sentido do torque adotado.

Resposta

\displaystyle \tau_C=\frac{16\,T_C}{\pi d^{3}}
\displaystyle \tau_D=\frac{16\,T_D}{\pi d^{3}}
(onde d=30\\ \text{mm}=0,03\\ \text{m} e T_C,T_D são os torques internos nas seções que contêm C e D, obtidos pela soma algébrica dos torques aplicados à esquerda ou à direita de cada corte; sem os valores ou a figura não é possível dar números.)

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