5.10 O eixo maciço tem diâmetro de 0,75 pol. Supondo que seja submetido aos torques mostrados, determinar a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida nas regiões
e
. Os mancais em
e
permitem rotação livre do eixo.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações (tal como escritas por ti):
- Um eixo maciço de diâmetro
pol. - O eixo é submetido aos torques mostrados (a figura com esses torques NÃO foi enviada).
- Os mancais em
e permitem rotação livre do eixo (ou seja, não reagem com momento torsor restritivo). - O que se pede: determinar a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida nas regiões
e .
Informações que faltam (e que seriam necessárias para um cálculo numérico):
- Valores (magnitudes) dos torques aplicados na figura.
- Sentidos (horário/anti-horário) desses torques.
- Em que pontos exatamente esses torques atuam ao longo do eixo (quais estão entre
e , quais entre e , etc.).
Passo 2
Posso explicar e ensinar todo o método passo a passo, mas NÃO é possível calcular valores numéricos das tensões em
e
porque os torques mostrados na figura não foram fornecidos. Para obter as tensões numéricas é indispensável conhecer, para cada trecho, o torque interno resultante naquele trecho — e isso só se obtém a partir dos torques aplicados (valores e sentidos) e da posição deles ao longo do eixo.
Vou então mostrar, de modo didático e passo a passo, como se resolve na prova assim que esses dados estiverem disponíveis.
Passo 3
Conceito e fórmula básica da torção em eixo circular maciço:
- Para um eixo circular sujeito a um torque
aplicado axialmente, a tensão de cisalhamento em um ponto à distância radial do centro é dada por
onde:
-
é a tensão de cisalhamento tangencial no ponto de raio , -
é o torque interno à seção considerada (unidade: lbf·in, N·m, etc.), -
é o momento polar de inércia da seção transversal (unidade: in^4, m^4, etc.), -
varia de (eixo) até (raio exterior). - A tensão máxima ocorre na superfície externa (
), portanto
Passo 4
Fórmula de
para eixo circular maciço e relação prática:
- O momento polar de inércia de uma seção circular maciça de diâmetro
(raio ) é
Explicação curta de onde vem: integra-se
em coordenadas polares e obtém-se
; substituindo
obtém-se
.
- Substituindo
em obtém-se a forma muito usada
Nessa fórmula:
-
é o torque interno na seção (mesmas unidades que usar-se-á para calcular ), -
é o diâmetro do eixo.
Passo 5
Cálculo numérico dos parâmetros do eixo dado (
pol.) — passo a passo para ficar pronto para substituir:
- Calcular
e :
- Calcular
:
- Raio externo:
- Constante prática para converter torque em tensão (usar
ou ). Calculando o fator numérico para :
Portanto, com
em lbf·in a tensão
virá em psi (lbf/in^2) e
onde
é o torque numérico (em lbf·in) atuante na seção.
Passo 6
Como determinar o torque interno em cada trecho (
e
) a partir do diagrama de torques (procedimento que se faz na prova):
- Traçar o diagrama de corpo livre do eixo ou fazer cortes imaginários imediatamente à esquerda ou à direita das seções
e . - Para cada corte, somar algebricamente os torques aplicados em um dos lados do corte (esquerda ou direita) para obter o torque interno
naquela seção. Atenção ao sinal (escolher convenção, ex.: positivo para torques que tendem a girar no sentido anti-horário vistos da extremidade direita). - O valor obtido (módulo) é o
a ser usado em .
Exemplo simbólico: se os torques aplicados ao longo do eixo, indo depara , forem e a seção está entre a aplicação de e , então o torque interno em pode ser algo como
Importante: o sinal (+/−) só afeta a direção da tensão, a magnitude da tensão de cisalhamento máxima usa o módulo
.
Passo 7
Fórmulas prontas que deves usar na prova (diretamente aplicáveis assim que tens os torques internos numéricos):
com
pol. Numericamente, para
em lbf·in:
Se os torques vierem em outras unidades (por exemplo N·m), converte-os para unidades coerentes antes de usar as fórmulas; a relação
vale em qualquer sistema de unidades coerente.
Passo 8
Resumo prático do que deves fazer na prova, passo a passo, assim que tiveres a figura com os torques:
- Determinar, por cortes ou somas, o torque interno
em cada trecho de interesse ( e ). Anotar o módulo de e de . - Calcular
em cada trecho usando com pol. - Reportar as tensões (em psi se
estiver em lbf·in) e indicar sinais se pedirem sentido da tensão (sinal vem do sentido do torque escolhido).
Força aí — o procedimento é curto e direto; o “trabalho chato” na prova é apenas somar corretamente os torques para obter
e
. Se quiser, eu posso aplicar tudo isso num cálculo numérico assim que me forneças os valores e sentidos dos torques (ou a figura completa).
Resposta
Não é possível determinar numericamente as tensões de cisalhamento em
e
porque os valores e sentidos dos torques mostrados não foram fornecidos (figura não enviada). Fórmulas gerais:
e
, com
pol.; numericamente
(com
em lbf·in e
em psi).