5.10 O eixo maciço tem diâmetro de 0,75 pol. Supondo que seja submetido aos torques mostrados, determinar a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida nas regiões C D e E F. Os mancais em A e F permitem rotação livre do eixo.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações (tal como escritas por ti):
  • Um eixo maciço de diâmetro d=0,75 pol.
  • O eixo é submetido aos torques mostrados (a figura com esses torques NÃO foi enviada).
  • Os mancais em A e F permitem rotação livre do eixo (ou seja, não reagem com momento torsor restritivo).
  • O que se pede: determinar a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida nas regiões C D e E F.
Informações que faltam (e que seriam necessárias para um cálculo numérico):
  • Valores (magnitudes) dos torques aplicados na figura.
  • Sentidos (horário/anti-horário) desses torques.
  • Em que pontos exatamente esses torques atuam ao longo do eixo (quais estão entre C e D, quais entre E e F, etc.).

Passo 2

Posso explicar e ensinar todo o método passo a passo, mas NÃO é possível calcular valores numéricos das tensões em C D e E F porque os torques mostrados na figura não foram fornecidos. Para obter as tensões numéricas é indispensável conhecer, para cada trecho, o torque interno resultante naquele trecho — e isso só se obtém a partir dos torques aplicados (valores e sentidos) e da posição deles ao longo do eixo.
Vou então mostrar, de modo didático e passo a passo, como se resolve na prova assim que esses dados estiverem disponíveis.

Passo 3

Conceito e fórmula básica da torção em eixo circular maciço:
  • Para um eixo circular sujeito a um torque T aplicado axialmente, a tensão de cisalhamento em um ponto à distância radial r do centro é dada por
\tau(r)=\dfrac{T\,r}{J},
onde:
  • \tau(r) é a tensão de cisalhamento tangencial no ponto de raio r,
  • T é o torque interno à seção considerada (unidade: lbf·in, N·m, etc.),
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal (unidade: in^4, m^4, etc.),
  • r varia de 0 (eixo) até c (raio exterior).
  • A tensão máxima ocorre na superfície externa ( r=c), portanto
\tau_{\max}=\dfrac{T\,c}{J}.

Passo 4

Fórmula de J para eixo circular maciço e relação prática:
  • O momento polar de inércia de uma seção circular maciça de diâmetro d (raio c=d/2) é
J=\dfrac{\pi d^{4}}{32}.
Explicação curta de onde vem: integra-se J=\displaystyle\int_A r^{2}\,dA em coordenadas polares e obtém-se J=\pi c^{4}/2; substituindo c=d/2 obtém-se J=\pi d^{4}/32.
  • Substituindo c=d/2 em \tau_{\max}=\dfrac{T c}{J} obtém-se a forma muito usada
\tau_{\max}=\dfrac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Nessa fórmula:
  • T é o torque interno na seção (mesmas unidades que usar-se-á para calcular \tau),
  • d é o diâmetro do eixo.

Passo 5

Cálculo numérico dos parâmetros do eixo dado ( d=0,75 pol.) — passo a passo para ficar pronto para substituir:
  1. Calcular d^{2} e d^{4}:
d^{2}=(0,75)^{2}=0,5625, \qquad d^{4}=(0,75)^{4}=0,31640625.
  1. Calcular J:
J=\dfrac{\pi d^{4}}{32}=\dfrac{\pi\cdot0,31640625}{32}\approx0,03106\\ \text{pol}^4.
  1. Raio externo:
c=\dfrac{d}{2}=0,375\\ \text{pol}.
  1. Constante prática para converter torque em tensão (usar \tau_{\max}=\dfrac{16T}{\pi d^{3}} ou \tau_{\max}=\dfrac{T c}{J}). Calculando o fator numérico para d=0,75:
d^{3}=(0,75)^{3}=0,421875,
\frac{16}{\pi d^{3}}=\frac{16}{\pi\cdot0,421875}\approx12{,}07\\ \left(\frac{1}{\text{pol}^2}\right).
Portanto, com T em lbf·in a tensão \tau virá em psi (lbf/in^2) e
\tau_{\max}\approx 12{,}07\;T,
onde T é o torque numérico (em lbf·in) atuante na seção.

Passo 6

Como determinar o torque interno em cada trecho ( T_{CD} e T_{EF}) a partir do diagrama de torques (procedimento que se faz na prova):
  1. Traçar o diagrama de corpo livre do eixo ou fazer cortes imaginários imediatamente à esquerda ou à direita das seções C\!D e E\!F.
  2. Para cada corte, somar algebricamente os torques aplicados em um dos lados do corte (esquerda ou direita) para obter o torque interno T naquela seção. Atenção ao sinal (escolher convenção, ex.: positivo para torques que tendem a girar no sentido anti-horário vistos da extremidade direita).
  3. O valor obtido (módulo) é o T a ser usado em \tau_{\max}=\dfrac{16T}{\pi d^{3}}.
    Exemplo simbólico: se os torques aplicados ao longo do eixo, indo de A para F, forem T_1,T_2,T_3,\dots e a seção C D está entre a aplicação de T_2 e T_3, então o torque interno em C D pode ser algo como
T_{CD}=T_1+T_2\quad\text{(dependendo dos sentidos escolhidos)}.
Importante: o sinal (+/−) só afeta a direção da tensão, a magnitude da tensão de cisalhamento máxima usa o módulo |T|.

Passo 7

Fórmulas prontas que deves usar na prova (diretamente aplicáveis assim que tens os torques internos numéricos):
\tau_{CD}=\dfrac{16\,T_{CD}}{\pi d^{3}}, \qquad \tau_{EF}=\dfrac{16\,T_{EF}}{\pi d^{3}},
com d=0,75 pol. Numericamente, para T em lbf·in:
\tau \;(\text{psi}) \approx 12{,}07\;T\;(\text{lbf·in}).
Se os torques vierem em outras unidades (por exemplo N·m), converte-os para unidades coerentes antes de usar as fórmulas; a relação \tau_{\max}=T c/J vale em qualquer sistema de unidades coerente.

Passo 8

Resumo prático do que deves fazer na prova, passo a passo, assim que tiveres a figura com os torques:
  1. Determinar, por cortes ou somas, o torque interno T em cada trecho de interesse ( C D e E F). Anotar o módulo de T_{CD} e de T_{EF}.
  2. Calcular \tau_{\max} em cada trecho usando \tau_{\max}=\dfrac{16\,T}{\pi d^{3}} com d=0,75 pol.
  3. Reportar as tensões (em psi se T estiver em lbf·in) e indicar sinais se pedirem sentido da tensão (sinal vem do sentido do torque escolhido).
Força aí — o procedimento é curto e direto; o “trabalho chato” na prova é apenas somar corretamente os torques para obter T_{CD} e T_{EF}. Se quiser, eu posso aplicar tudo isso num cálculo numérico assim que me forneças os valores e sentidos dos torques (ou a figura completa).

Resposta

Não é possível determinar numericamente as tensões de cisalhamento em C D e E F porque os valores e sentidos dos torques mostrados não foram fornecidos (figura não enviada). Fórmulas gerais: \tau_{CD}=\dfrac{16\,T_{CD}}{\pi d^{3}} e \tau_{EF}=\dfrac{16\,T_{EF}}{\pi d^{3}}, com d=0,75 pol.; numericamente \tau\approx12{,}07\,T (com T em lbf·in e \tau em psi).

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